Программа

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

               учреждение высшего образования

“НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н. П. ОГАРЁВА”

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ

И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ПРОГРАММА

ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

НАПРАВЛЕНИЯ ПОДГОТОВКИ

02.03.02 – ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ИНФОРМАТИКА

И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

САРАНСК 2016

Алгебра и геометрия. Теорема о классификации линий 2-го порядка. Теорема о множестве решений однородной системы линейных уравнений и его размерности. Нахождение общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Нормальные делители в группе. Фактор-группа. Примеры. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теорема о собственном подпространстве и его размерности. Самосопряженный и ортогональный операторы и их матрицы. Теорема о существовании ортонормированного базиса из собственных векторов. Примеры.
Аналитическая геометрия. Геометрический смысл уравнений и неравенств 1-ой степени (линейных) в и . Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и седла.
Теория чисел. Теорема Эйлера и теорема Ферма. Применение теоремы Эйлера для решения сравнений первой степени. Символы Лежандра и критерий Эйлера. Исследование вопроса о существовании решений сравнений второй степени.
Дискретная математика. Функции булевой алгебры, и их реализация формулами. СДНФ и СКНФ. Замкнутые классы. Критерий полноты. Оценки сложности ДНФ. Сокращенные, тупиковые, минимальные дизъюнктивные нормальные формы, и алгоритмы их построения. Генерация комбинаторных объектов: перестановок, размещений, подмножеств. Сети и потоки в сетях. Теорема Форда – Фалкерсона. Алфавитное кодирование. Алгоритмы построения оптимальных кодов и близких к оптимальным кодам. Самокорректирующие коды.
Конечные графы. Графы: виды, изоморфизм графов, операции с графами, представление в ЭВМ. Алгоритмы Прима и Крускала построения остовного дерева. Алгоритм Дейкстры построения кратчайших путей в орграфе.
Нечеткие множества. Нечеткие множества и операции над ними. Нечеткая и лингвистическая переменные. Операции над нечеткими числами.
Методы защиты информации. Криптографические методы защиты информации. Сеть Фейстеля и блочные системы шифрования. Криптографические методы защиты информации. Поточные шифры. Генераторы псевдослучайных последовательностей.
Теория кодирования. Оптимальное кодирование. Код Фано. Код Хаффмана. Коды с исправлением ошибок. Код Хемминга.
Алгоритмы и анализ сложности. Алгоритм Евклида нахождения НОД в Z[x]. Оценка сложности. Алгоритм сортировки. Оценка сложности.
Математическая логика и теория алгоритмов. Отношение семантического следования и метод резолюций в логике высказываний. Отношение выводимости в логике предикатов и теорема дедукции. Машины Тьюринга и функции вычислимые на них. Разрешимые и неразрешимые множества. Теорема о неразрешимости проблемы самоприменимости машин Тьюринга.
Теория автоматов и формальных языков. Формальные языки и порождающие грамматики. Классы грамматик и классы языков. Иерархия языков по Хомскому. Регулярные выражения и регулярные языки. Праволинейные грамматики и регулярные языки. Конечные автоматы и распознавание слов и языков при помощи детерминированных и недетерминированных автоматов. Автоматные языки. Теорема Клини о совпадении класса регулярных и автоматных языков.
Математический анализ. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на промежутке. Теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши, Кантора. Дифференцирование функций одной и многих переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функций одной и многих переменных. Свойства функций, дифференцируемых на промежутке. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранжа, Коши. Неявные функции. Теорема существования, непрерывности и дифференцируемости. Определение интеграла по Риману. Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
Кратные интегралы и ряды. Кратные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному. Криволинейные интегралы. Способы вычисления. Формула Грина. Поверхностные интегралы. Способы вычисления. Ряд Фурье по ортонормированной последовательности. Полнота и замкнутость последовательности. Ряд Фурье по тригонометрической системе. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Формула Коши-Адамара. Разложение элементарных функций в степенной ряд.
Комплексный анализ. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл производной функции комплексного переменного.        Интегральные теоремы. Интегральная формула Коши.        Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций. Теорема Вейерштрасса о голоморфности суммы ряда. Классификация изолированных особых точек аналитической функции. Теорема Сохоцкого (без доказательства).        Ряд Лорана. Теорема Лорана о разложении функции, аналитической в кольце, в ряд Лорана.        Понятие вычета, его вычисление в полюсе. Основная теорема Коши о вычетах. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.
Функциональный анализ. Сжимающие отображения. Теорема Банаха об операторе сжатия. Интеграл Лебега. Определение и основные свойства. Вполне непрерывные самосопряженные операторы. Их спектральные свойства, фундаментальная система решений.
Дифференциальные и разностные уравнения. Интегрирование линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка. Линейные разностные дифференциальные уравнения n-го порядка.
Теория устойчивости дифференциальных уравнений. Критерий асимптотической устойчивости линейной системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.
Математические модели экономики. Производственная функция. Уравнение Слуцкого.
Теория вероятностей и математическая статистика. Функция распределения вероятностей случайной величины. Статистические оценки параметров распределения. Методы нахождения точечных оценок. Случайные величины и их числовые характеристики.
Методы оптимизации и исследование операций. Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Транспортная задача. Условие разрешимости и методы построения первоначального опорного плана. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
Вычислительные методы. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Оценка погрешности n-го приближения. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа. Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа. Семейство квадратурных формул Ньютона-Котеса. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности методом сеток.
Решение задач средствами инженерных и математических пакетов прикладных программ. Математическое моделирование, его цели, принципы и технология. Структура системы компьютерной математики.
Основы программирования. Базовые алгоритмические конструкции и их реализация в языках программирования. Теорема структурирования.
Языки программирования. Формальное определение грамматики и языка. Статические и динамические объекты: сравнительные достоинства и недостатки. Способы управления динамическими объектами. Рекурсивные объекты и рекурсивные вычисления. Виды рекурсии. Проблемы, связанные с использованием рекурсии. Рекомендации по использованию рекурсии.
Архитектура вычислительных систем. Основные цифровые логические схемы Программная модель архитектуры процессоров Intel
Операционные системы. Операционная система: определение и классификация. Основные функции операционных систем Архитектура операционной системы
Технологии баз данных. Понятие СУБД. Краткая характеристика основных функций СУБД. Решение задачи защиты физической целостности базы данных. Понятие транзакции. Системы баз данных и модели данных. Краткая характеристика моделей данных. Краткая характеристика этапов проектирования баз данных. Моделирование «сущность-связь»: базовые понятия. Виды связей между сущностями. Компоненты реляционной модели данных. Структура реляционных данных.
Компьютерные сети. Сетевая архитектура TCP/IP. Транспортный уровень архитектуры TCP/IP. Протокол UDP. Транспортный уровень архитектуры TCP/IP. Протокол TCP.
Программная инженерия. Организация планирования жизненного цикла сложных программных систем. Организация разработки требований к сложным программным системам. Интеллектуальные системы. Модели представления знаний в интеллектуальных системах. Структура программы на языке логического программирования Prolog.
Компьютерная графика. Аффинные преобразования на плоскости. Понятие однородных координат. Использование однородных координат в компьютерной графике. Задача двумерного отсечения. Простой алгоритм двумерного отсечения. Алгоритм отсечения Сазерленда-Коэна. Случай прямоугольного отсекающего окна.
Социальные и этические вопросы информационных технологий. Тенденции развития глобального информационного пространства. Интеллектуальная собственность в сфере информационных технологий.
Офисное программирование. Объектная модель Microsoft Word и Microsoft Excel; Общие принципы создания контроллеров автоматизации.
Технологии создания приложений баз данных. Особенности реализации SQL в Microsoft Visual Basic 2012 (платформа. Net) Реализация технологии ADO в приложениях Microsoft Visual Basic для баз данных.
CASE-технологии. Понятие CASE-системы. Функции, назначение и виды CASE-систем. CASE-средства проектирования программного обеспечения. Методологии IDEF0, IDEFX.
Введение в параллельные вычисления. Понятие эффективности параллельных программ, методы оценки эффективности, закон Амдаля. Создание параллельных программ для систем с общей памятью. Стандарт OpenMP. Создание параллельных программ для систем с распределенной памятью. Стандарт MPI.
Языковые средства поддержки сценариев Windows. Стандартные инструменты и технологии для автоматизации работы в операционной системе Windows. Основные возможности, достоинства и недостатки этих инструментов. Возможности командного процессора cmd. exe. Перенаправление ввода/вывода и конвейеризация команд.
Сетевые языки и веб-программирование. Объектная модель языка JavaScript. Модель DOM. Конструктор объекта в языке JavaScript.

Профиль “Информатика и компьютерные науки”

Программирование и современные Интернет-технологии. Использование библиотеки Python для реализации cgi-запроса. Средства организации взаимодействия Python с СУБД MySQL.
VBA и автоматизация Windows-приложений. Объекты и классы VBA Excel. Методы языка VBA Excel.
Работа с удаленными базами данных. Архитектуры баз данных. Краткая характеристика. Технология «Клиент/Сервер». Функции «клиента». Функции «Сервера». Многозвенная архитектура и её преимущества. Взаимодействие приложения и базы данных.
Решение прикладных задач на C++. Концепция пространства имен в С++. Понятие класса в С++.
Объектно-ориентированное программирование на языках высокого уровня. Понятие объекта и состояния в ООП. Методология ООП.
Системы информационной безопасности предприятия. Классификация вредоносного программного обеспечения. Политика информационной безопасности: основные понятия и структура.

Профиль “Супервычисления”

Принципы разработки параллельных программ и основы программирования с использованием MPI. Умножение матрицы на вектор при разделении данных по строкам. Умножение матриц при ленточной схеме разделения данных.
Проектирование распределенных баз данных. Основные принципы создания и функционирования распределенных баз данных. Логическая модель распределенных баз данных.
Параллельное программирование с использованием технологии OpenMP. Введение в OpenMP. Модель параллельной программы. Директивы OpenMP. Область видимости переменных в OpenMP. Пример. Распараллеливание циклов с помощью технологии OpenMP. Параллельный алгоритм произведения  матриц с помощью технологии OpenMP.
Программирование для процессоров различных архитектур. Модель программирования CUDA. Иерархия памяти CUDA.
Современные вычислительные методы прикладной математики. Метод конечных объемов для решения задач математической физики на неструктурированных сетках. Объектная модель представления сеточных данных (на примере языка С++).
Программное обеспечение математических моделей. Постр оение математических моделей в системе Mathematica. Создание интерактивных объектов в Mathematica с помощью функции Manipulate.

Программа утверждена на заседании ученого совета факультета математики и информационных технологий. Протокол №10 от 01.01.01 г.

Председатель совета