Вопросы к коллоквиуму № 2

Вопросы к коллоквиуму № 2

НМ-II

4 семестр

Площадь кривой поверхности (определение, пример Шварца). Вычисление площади поверхности, заданной параметрическими уравнениями. Частный случай z=f(x, y). Поверхностный интеграл 1-го рода: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к двойному интегралу, случай z=f(x, y). Двусторонние и односторонние поверхности. Примеры. Сторона поверхности. Ориентация. Поверхностный интеграл 2-го рода: определение, условия существования, основные свойства. Вычисление объёма тела. Сведение поверхностного интеграла 2-го рода к двойному. Связь между поверхностными интегралами обоих родов. Формула Стокса. Поверхностно односвязные области. Применение формулы Стокса к исследованию интегралов. Тройной интеграл: определение, условия существования, основные свойства. Теорема Фубини для тройного интеграла и следствия из неё. Формула Остроградского-Гаусса. Пространственно односвязные области. Её применение для исследования поверхностных интегралов. Выражение объема в криволинейных координатах. Примеры цилиндрических и сферических координат. Геометрический смысл модуля якобиана. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры. Несобственные тройные интегралы: определение, теоремы Фубини, абсолютная сходимость. Теорема об абсолютной сходимости (без доказательства). Функции с ограниченным изменением. Примеры. Классы функций с ограниченным изменением. Свойства функций с ограниченным изменением. Критерий ограниченности изменения функции (необходимое и достаточное условие). Непрерывные функции с ограниченным изменением. Интеграл Стилтьеса: определение, общие условия существования. Классы случаев существования интеграла. Свойства интеграла Стилтьеса (включая существенное отличие от интеграла Римана с контрпримером). Интегрирование по частям для интеграла Стилтьеса. Вычисление интеграла Стилтьеса. Теорема о среднем для интеграла Стилтьеса. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса. Элементы векторного анализа. Скалярные и векторные поля. Градиент, ротор, дивергенция и их инвариантные определения. Работа (циркуляция) векторного поля, поток поля через поверхность. Потенциальные и соленоидальные поля. Необходимые и достаточные условия потенциальности и соленоидальности. Разложение векторного поля в сумму потенциального и соленоидального полей. Обратная задача векторного анализа.