УДК 539.3
ЭФФЕКТ ВЛИЯНИЯ ГРАНИЦЫ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КИН ДЛЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ В 
, проф.; , ст. преп.; , ст. преп.
Для выявления эффекта влияния границы на распределение коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) в вершинах трещины для задач теории упругости и электроупругости, рассмотрим кососимметричную задачу теории упругости для полуслоя с трещиной и симметричную задачу электроупругости для полуслоя с трещиной.
Указанные краевые задачи были рассмотрены на базе единого подхода, основанного на использовании для описания механических и электрических величин, однородных решений [2, 3, 4].
Постановку краевой задачи для полуслоя с трещиной рассмотрим на примере симметричной задачи электроупругости. (Постановка краевой задачи теории упругости для полуслоя с трещиной осуществляется аналогично).
Рассмотрим пьезокерамический полуслой, 
содержащий внутреннюю сквозную трещину. Будем предполагать, что на берегах трещины действует поверхностная нагрузка 
. Допустим, что кривизны дуг и функции 
, удовлетворяют условию Гельдера на 
[5] и, кроме того, 
разлагается в ряд Фурье по координате 
на 
. На основаниях полуслоя выполняются следующие условия:
(1.1)
где 
- механические напряжения, а 
- электрический потенциал.
На границе полуслоя зададим граничные условия в виде:
(1.2)
где 
- составляющая электрической индукции.
Краевые условия на берегах разреза зададим в виде:
(1.3)
где 
- касательная составляющая вектора электрической напряженности, 
- нормальная составляющая вектора электрической индукции.
Интегральные представления входящих в однородные решения разрешающих функций, должны обеспечивать существование скачков перемещений, непрерывность вектора механических напряжений, а также непрерывность касательной составляющей вектора напряженности электрического поля и нормальной составляющей вектора электрической индукции. при переходе через разрез 
. Эти представления должны удовлетворять граничным условиям (1.2) и затуханию перемещений, напряжений, электрической напряженности и индукции на бесконечности.
Запишем представления искомых функций в виде:
(1.4)
Величины с индексом “1” соответствуют основному источнику [1, 6], а эти же величины с индексом “2” - отраженному.
Структуры представлений, содержащие отраженный источник, имеют вид [7].
Удовлетворяя граничным условиям (1.3) с учетом (1.4), и раскладывая найденные выражения в ряды Фурье, приходим к бесконечной системе сингулярных интегродифференциальных уравнений, по структуре совпадающих с аналогичными уравнениями для слоя [1, 6].
Коэффициенты интенсивности напряжений находятся по формулам:
(1.5)
Здесь 
- нормальные и касательные составляющие напряжений, а также нормальная составляющая вектора электрической индукции на продолжении за вершину трещины.
В качестве примера рассмотрим:
а) пьезокерамический полуслой (материал PZT-4), ослабленный сквозным криволинейным разрезом под действием внутреннего давления 
.
б) изотропный полуслой 
, ослабленный сквозным криволинейным разрезом под действием нагрузки 
. Параметризацию контура в обоих случаях зададим в виде:
(1.6)
На рис.1 приведены эпюры распределения относительного КИН
|
|
Рисунок 1 | Рисунок 2 |
по “толщинной” координате в зависимости от расстояния до границы полуслоя при 
Кривые 1, 2, 3 построены для 
соответственно.
На рис.2 приведены эпюры распределения относительного КИН 
вдоль “толщинной” координаты. Кривые 1, 2 построены для прямой трещины 
при 
и 
соответственно (
- длина трещины). 2Штрихами приведена кривая при 
.
Численная реализация построенных алгоритмов позволяет сделать вывод, что влияние границы полуслоя не сказывается на КИН при 
.
SUMMARY
The boundary-value problems of the electroelasticity and the theory of elasticity for a half-layer, weakened with the through-the-thickness tunnel cracks, are considered. Corresponding boundary-value problems are reduced to the infinite systems of one-dimensional singular integro-differential equations, numerically solved. The results of the calculations of the stress intensity factors (SIF) at the crack tip are deduced. The effect of the influence of a half-layer boundary on SIF propagation is obtained.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. , , Изгиб слоя, ослабленного сквозными туннельными разрезами // Докл. АН СССР. - 1991. - 317, №1. - С. 31-53.
2. Электроупругое равновесие пьезокерамической плиты // Прикл. математика и механика. - 1977. - 41, №6. - С. 1114-1121.
3. ., Некоторые задачи теории плит из электроупругого материала // Тепловые напряжения в элементах конструкций. - 1977. Вып. 17. - С. 62-67.
4. К теории толстых плит // Прикл. математика и механика. - 1942. - 6, № 000. - С. 151-169.
5. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Гос. из-во физ.-мат. литературы, 1954. - 599с.
6. , Краевая задача электроупругости для слоя с туннельными сквозными разрезами // Прикл. механика. - 1991. - 27, №12. - С. 21-26.
7. , , Пространственная кососимметричная задача теории упругости для полуслоя, ослабленного сквозными туннельными разрезами / СГУ. - Сумы, 1995. - 9с. - Деп. в ГНТБ Украины 25.01.95, № 000. - Ук95.
Поступила в редколлегию 15 декабря 1997 г.
