Подставляя (3) в (1), получим
.
Но так как, мы требуем, чтобы форма 
была тоже диагональной, то
. (5)
Тогда форма 
перепишется в следующем виде
. (6)
Далее, так как 
имеет тот же дискриминант, что и форма 
, то
, (7)
или что то же самое
;
;
(8)
откуда с учетом (5), полученное соотношение (8) перепишется в виде
,
что противоречит условию (4).
Значит наше допущение о том, что диагональная форма эквивалентна другой диагональной форме того же дискриминанта неверно.
Теорема 3 доказана.
Полученную теорему 3 можно применить к оценке снизу числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм собственно примитивного порядка.
Теорема 4. Если для каждого квадратного делителя 
дискриминанта 
выполнены условия:
НОД 
, 
простого 
,
то для числа 
классов неопределенных квадратичных форм дискриминанта 
в каждом роде собственно примитивного порядка выполняется неравенство
.
Доказательство. Пусть 
- собственно примитивная форма дискриминанта 
, т. е. НОД 
и пусть она представляет целое число 
, т. е. 
при некоторых целых 
и 
. Будем считать, что 
, где 
- целое число. Тогда символ Лежандра числа 
по простому делителю 
числа 
равен
.
Далее 
по условию имеем
.
Полученное означает, что форма 
принадлежит главному роду (род называется главным, если характеры его форм равны 
). Число таких форма равно числу квадратных делителей 
дискриминанта 
с условием НОД 
и все они эквивалентны по теореме 3. Поэтому для числа классов 
в главном роде справедлива оценка снизу
с условием 
.
В силу теоремы 2 Гаусса такая же оценка справедлива и для числа классов всех остальных родов.
Теорема 4 доказана.
ЛИТЕРАТУРА.
Элементарная теория чисел. М-Л., 1937, с. 218 Труды по теории чисел. Изд-во АН СССР, М., 1959, с. 978 ведение в аналитическую теорию чисел. Изд-во «Мир», М., 1974, с. 187 Основы теории чисел. Изд-во «Наука», М., 1972 с. 267 Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., «Наука», 1980, с. 144 Теория чисел. М., 1966, с. 384
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
