Задания

В1.Задание 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ...; 8; x; 16; 20; ... Найдите х.

Решение. Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел вида , где - разность прогрессии (число на которое изменяется последующий член прогрессии).

Из приведенных чисел видно, что , и тогда . Ответ: 12.

В2.Задание 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ...; -10; x; -14; -16; ... Найдите x.

Решение. Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, образованная по правилу , где - разность прогрессии. Из двух последовательных членов -14 и -16, имеем и тогда

.  Ответ: -12.

В3.Задание 6. Последовательность задано условиями: , . Найдите .

Решение. Из формулы зависимости от последовательно вычислим все члены до 6, получим:

из первых полученных значений видно, что далее все чередуется, то есть .

Ответ: -2.

В4.Задание 6. Последовательность () задана условиями: b1=3, . Найдите b3.

Решение. Найдем последовательно первые два члена последовательности, получим:

  Ответ: 3.

В5. Задание 6. Геометрическая прогрессия () задана условиями: b1 = 5, . Найдите b4.

Решение. Геометрическая прогрессия – это прогрессия вида , где - множитель, на который меняется следующее значение члена прогрессии. Из выражения видно, что . Тогда n-й член геометрической прогрессии может быть получен как

,

и для , имеем:

.  Ответ: 135.

В6. Задание 6. Геометрическая прогрессия () задана условиями: b1= 3, . Найдите b4.

Решение. Геометрическая прогрессия – это прогрессия вида , где - множитель, на который изменяются последующие члены прогрессии. Из приведенного выражения видно, что , и тогда, используя формулу геометрической прогрессии для вычисления n-го члена, имеем:

.  Ответ: 192.

В7. Задание 6. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: -250; 150; -90; ... Найдите её пятый член.

Решение. В геометрической прогрессии члены подчиняются закону изменения , где - множитель, на который происходит изменение последующего члена прогрессии. Найдем q, зная два подряд идущих члена геометрической прогрессии и , тогда

.

Первый член прогрессии равен , тогда пятый ее член можно найти по формуле

и равен

  Ответ: -32,4.

В8. Задание 6. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 7; 14; 28; ... Найдите её пятый член.

Решение. Члены геометрической прогрессии образуются по правилу , где - множитель, на который меняется последующий член прогрессии. В задании даны первые два члена , на их основе вычислим значение , получим:

.

Пятый член геометрической прогрессии найдем по формуле и для пятого члена имеем:

.  Ответ: 112.

В9. Задание 6. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 448; 112; 28; ... Найдите сумму первых четырёх её членов.

Решение. Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, которая формируется по правилу , где - множитель, на который меняется последующий член прогрессии. Из первых двух членов геометрической прогрессии , получим:

.

Тогда четвертый член прогрессии будет равен:

,

в результате получаем последовательность

448, 112, 28, 7,

и их сумма, равна:

448+112+28+7=595.  Ответ: 595.

В10. Задание 6. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: -750; 150; -30; ... Найдите сумму первых пяти её членов.

Решение. Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, которая формируется по правилу , где - множитель, на который меняется последующий член прогрессии. Из первых двух членов геометрической прогрессии , получим:

.

Тогда четвертый и пятый члены прогрессии будут равны:

Сумма первых пяти членов равна:

-750+150-30+6-1,2=-625,2.  Ответ: -625,2.

В11. Задание 6. Последовательность () задана условиями: b1=-6, . Найдите b5.

Решение. Найдем значение вычисляя по порядку значения членов последовательности, получим:

видим, что последующие члены чередуются в этом порядке, то есть их можно найти не вычисляя:

.  Ответ: -6.

В12. Задание 6. Последовательность ( ) задана условиями: b1=-4, . Найдите b5.

Решение. Вычислим по порядку члены последовательности, начиная со второго, получим:

далее видно, что числа периодически повторяются, то есть

  Ответ: -4.

В13. Задание 6. Дана арифметическая прогрессия (), разность которой равна -5, a1 = 9,2. Найдите a11.

Решение. Арифметическая прогрессия – это последовательность вида , где - разность прогрессии. Так как , а , то по формуле арифметической прогрессии , величина

.  Ответ: -40,8.

В14. Задание 6. Дана арифметическая прогрессия () разность которой равна 1,9, a1 = 3,9. Найдите a8.

Решение. Арифметическая прогрессия – это последовательность вида , где - разность прогрессии. Так как , а , то по формуле арифметической прогрессии , величина

.  Ответ: 17,2.

В15. Задание 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ...; -9; x; -13; -15; ... Найдите x.

Решение. В арифметической прогрессии последовательность формируется по правилу , где - разность прогрессии. Найдем величину из двух соседних членов прогрессии -13 и -15, получим:

,

и тогда

.  Ответ: -11

В16. Задание 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ...; 12; х; 6; 3; ... Найдите х.

Решение. Члены арифметической прогрессии формируются по правилу , где - разность прогрессии. Найдем разность прогрессии из двух известных соседних ее членов, получим:

.

Тогда член x будет равен

.  Ответ: 9.

В17. Задание 6. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 30; 24; 18; ... Найдите 51-й член этой прогрессии.

Решение. Члены в арифметической прогрессии формируются по правилу , где - разность прогрессии. Найдем разность прогрессии, зная значения и , получим:

.

Найдем 51-й член этой прогрессии по формуле для вычисления n-го члена арифметической прогрессии , и при n=51, имеем:

.  Ответ: -270.

В18. Задание 6. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: -17; -14; -11; ... Найдите 81-й член этой прогрессии.

Решение. Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, образуемые выражением вида , где - разность прогрессии. Найдем сначала величину d, зная первые два члена прогрессии , получим:

.

Теперь вычислим 81-й член арифметической прогрессии, используя формулу при n=81, имеем:

.  Ответ: 223.

В19. Задание 6. Последовательность () задана условиями: c1 = -8, .

Найдите с9.

Решение. Последовательность вида образует арифметическую последовательность с разностью . Следовательно, для вычисления 9-го члена арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой и при n=9, имеем:

.  Ответ: -24.

В20. Задание 6. Последовательность () задана условиями: c1=2, . Найдите c6.

Решение. Последовательность вида соответствует арифметической последовательности с разностью (величина, на которую изменяется следующий член прогрессии). Зная величину , найдем по формуле арифметической прогрессии для n-го члена , то есть

.  Ответ: 12.

В21. Задание 6. Дана арифметическая прогрессия (), разность которой равна 5,5, a1=-6,9. Найдите a6.

Решение. Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, формируемых по закону , где - разность прогрессии. По условию задачи и . Тогда 6-й член прогрессии можно найти по формуле для n-го члена прогрессии , получим для n=6:

.  Ответ: 20,6.

В22. Задание 6. Дана арифметическая прогрессия (), разность которой равна -5,3, а1=-7,7. Найдите a7.

Решение. Члены арифметической прогрессии формируются по правилу , где - разность прогрессии. В задании дано значение и , тогда величину можно найти из формулы для n-го члена арифметической прогрессии , получим:

.  Ответ: -39,5

В23. Задание 6. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 0,5; 2; 8; ... Найдите сумму первых шести её членов.

Решение. Геометрическая прогрессия – это прогрессия вида , где - некоторый множитель, на который меняется последующий член прогрессии. Найдем этот множитель, зная первые 2 члена прогрессии , получим:

.

Теперь можно вычислить члены прогрессии с 4-го по 6-й:

Сумма первых шести членов прогрессии, равна:

0,5+2+8+32+128+512=682,5.  Ответ: 682,5.

В24. Задание 6. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 7; -35; 175; ... Найдите сумму первых четырёх её членов.

Решение. Члены геометрической прогрессии образуются по правилу , где - множитель, на который изменяется последующий член прогрессии. Вычислим данный множитель по первым двум членам прогрессии, получим:

.

Теперь вычислим 4-й член этой прогрессии, имеем:

,

и сумма первых 4-х членов, равна:

7-35+175-875=-728.  Ответ: -728.

В25. Задание 6. Дана арифметическая прогрессия () разность которой равна 0,6, a1=6,2. Найдите сумму первых 13 её членов.

Решение. Арифметическая прогрессия – последовательность чисел, образуемых по формуле , где - разность прогрессии, то есть по условию задачи. Сумму первых 13-ти членов арифметической прогрессии можно найти по формуле

,

а 13-й член прогрессии можно вычислить как

.

Таким образом, сумма первых 13-ти членов, равна:

.  Ответ: 127,4.

В26. Задание 6. Дана арифметическая прогрессия (), разность которой равна 5,1, a1=-0,2. Найдите сумму первых 7 её членов.

Решение.

Разность арифметической прогрессии – это слагаемое d, на которое изменяется каждый последующий член прогрессии:

.

Сумму первых 7-ми членов арифметической прогрессии можно найти по формуле

.

Величину можно найти по формуле n-го члена арифметической прогрессии при n=7, получим:

,

и сумма первых 7-ми членов, равна:

.  Ответ: 105,7.

В27. Задание 6. Последовательность (), n>1, задана формулой . Сколько членов этой последовательности больше 6?

Решение.

Нужно найти максимальное значение n для n-го члена последовательности, при котором выполняется условие:

Упростим выражение, получим неравенство:

Так как число n должно быть целым, то наибольшее целое будет равно n=10, то есть имеем 10 первых членов последовательности, которые будут больше 6.  Ответ: 10.

В28. Задание 6. Последовательность (), n>1, задана формулой . Сколько членов этой последовательности больше 2?

Решение. В задаче необходимо найти такое наибольшее n, при котором , то есть имеем неравенство вида

откуда

Так как n – целое число, то из неравенства можно получить максимальное n=35. Таким образом, имеем первые 35 членов последовательности, значения которых больше 2.

Ответ: 35.

В29. Задание 6. Последовательность (cn) задана условиями: c1 = 5, . Найдите c6.

Решение. Приведенный закон изменения членов последовательности соответствует арифметической прогрессии с разностью . В задаче дан первый член этой прогрессии , тогда 6-й член можно найти по формуле n-го члена арифметической прогрессии при n=6:

.  Ответ: -15.

В30. Задание 6. Последовательность (an) задана условиями: a1 = 5, . Найдите a10.

Решение. В задаче представлен закон изменения членов для арифметической прогрессии с разностью . Найдем 10-й член этой прогрессии по формуле для n-го члена арифметической прогрессии , получим (при n=10):

.  Ответ: 32.

В31. Задание 6. Дана арифметическая прогрессия , разность которой равна -8,5, а1=-6,8. Найдите a11.

Решение. Арифметическая прогрессия – это прогрессия вида , где - разность прогрессии и равна d=-8,5. Вычислим 11-й член данной прогрессии по формуле n-го члена арифметической прогрессии и при n=11, получим:

.  Ответ: -91,8.

В32. Задание 6. Дана арифметическая прогрессия , разность которой равна -4,9, a1=-0,2. Найдите a7.

Решение. Члены арифметической прогрессии формируются по правилу , где d – разность прогрессии. По условию задания . Тогда 7-й член арифметической прогрессии можно найти по формуле при n=7, имеем:

.  Ответ: -29,6.

В33. Задание 6. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: -6; x; -24; -48; ... Найдите х.

Решение. Члены геометрической прогрессии образуются по формуле , где - множитель, на который изменяется следующий член прогрессии по сравнению с предыдущим. Вычислим данный множитель, зная два подряд идущих члена прогрессии , получим:

Тогда величина x будет равна

.  Ответ: -12.

В34. Задание 6. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: ...; -3; x; -27; -81; ... Найдите х.

Решение. Геометрическая прогрессия – это прогрессия вида , где q – множитель, на который изменяется следующий член прогрессии. Вычислим сначала параметр q, зная два подряд идущих члена геометрической прогрессии , получим:

.

Теперь вычислим неизвестный член x, который идет после -3, имеем:

. Ответ: -9.

В35. Задание 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ...; 11; x; 19; 23; ... Найдите x.

Решение. Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, образованная формулой вида , где d – разность прогрессии. Найдем сначала разность d, зная два подряд идущих члена прогрессии 19 и 23, получим:

.

Найдем теперь величину x, которая идет за числом 11, следовательно,

.  Ответ: 15.

В36. Задание 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ...; 7; x; 13; 16; ... Найдите x.

Решение. Так как последовательность чисел является арифметической прогрессией, то каждый последующий член формируется на основе предыдущего по формуле , где d – разность прогрессии. Найдем величину d по подряд идущим числам 13 и 16, получим:

.

Из постановки задачи видно, что элемент x идет после числа 7, следовательно,

.  Ответ: 10.