Координатный способ

Координатный способ.

Решение конкретных задач механического движения не всегда осуществимо в рамках векторного метода, без конкретизации системы координат. В этом случае наиболее целесообразен координатный метод. В его основе лежит следующий факт: любое движение частицы можно представить как наложение движений той же частицы вдоль трех  координатных осей.

Выбор системы координат диктуется характером движения частицы, исходя, в первую очередь, из соображений простоты и удобности. В принципе, любое движение частицы можно описать, например, в прямоугольной системе координат. Однако, в случае удачного выбора системы координат можно избежать ненужных математических выкладок и получить результат в более наглядной форме. Например, для движения частицы по поверхности цилиндра движение удобнее описывать с помощью цилиндрической системы координат. В координатных системах другого вида указанное движение может выражаться сложными, трудно интерпретируемыми формулами.

Поясним сущность координатного метода на примерах прямоугольной и полярной систем координат. 

Прямоугольная система координат.

Здесь зависимость между радиус-вектором и координатами дается в виде (1.2). При этом закон движения (1.3) будет равнозначен выражениям

                                  (1.10)

которые одновременно представляют уравнение траектории движения в параметрической форме. Исключив из (1.10) параметр , получим уравнение траектории в явном виде. Например, если движение тела описывается уравнениями

,

то траекторией движения будет эллипс с полуосями А и В:

.

В координатном методе перемещение (1.4) выражается изменением координат, характеризующих изменение положения частицы на выбранных осях:

,

где

Для получения составляющих скорости воспользуемся (1.6) и (1.2)

Откуда получаем формулы для компонент скорости:

  (1.11)

Эти величины характеризуют быстроту изменения положения частицы вдоль соответствующих координатных осей.

Аналогичным образом определяют составляющие ускорения:

  (1.12)

Зная составляющие векторов и можно рассчитать их модули

    (1.13)

и путь, пройденный частицей за промежуток времени между и .

                          (1.14)

Рис. 1.7.

Полярная система координат*

Этой системой координат целесообразно пользоваться в том случае, если движение частицы совершается в плоскости. Положение частицы в полярной системе координат определяется радиальной () и угловой () координатами, которые связаны с координатами прямоугольной системы соотношениями  .

Закон движения дается в виде , откуда, исключив , получим уравнение траектории . В полярной системе координат с частицей связывают взаимоперпендикулярные подвижные векторы (орты), которые показывают направления  возрастания и в рассматриваемой точке. За элементарный промежуток времени  орты повернутся на один и тот же угол, и будут иметь следующие приращения

разделив которые на , получим

Рассчитаем скорость и ускорение частицы. Заметим, что радиус-вектор можно представить как

  (1.15)

Воспользовавшись определением скорости (1.10), получим

,

Откуда

  (1.16)

Это радиальная и угловая составляющие скорости, первая из которых характеризирует интенсивность изменения расстояния от частицы до начала координат , а вторая – вращение вокруг той же точки.

Подобным же образом получим уравнения для составляющих ускорения

Откуда

,  (1.17)

.  (1.18)