Программа курса «Введение в топологию»
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
Топология на множестве. Аксиомы топологии
(Открытые, замкнутые множества, топология дискретная, слипшаяся, частичный порядок)
Аксиомы отделимости (T0, T1, T2)
Непрерывные отображения (два определения). Гомеоморфизм. Топологическое свойство
(Замкнутость множества совпадения двух отображений в хаусдорфово пространство)
Индуцированная топология. Подпространство. Ограничение отображения
Покрытия. Локально конечные
Виды точек подпространства
(внутренность, внешность, замыкание, граница, точки прикосновения, предельные, изолиров-е)
Замкнутые и открытые отображения
Базы и предбазы. Критерий базы.
Локальные базы. 1-ая и 2-ая аксиомы счетности (Примеры)
Прямое произведение. База топологии. (Основное свойство прямого произведения)
График отображения. (Отображение непрерывно, ттт, когда график гомеоморфен прообразу)
Плотность и сепарабельность (сохраняются при непрерывном отгображении)
Покрытия. Локально конечные покрытия
МЕТРИКА
Метрика на множестве.
Топология, порождаемая метрикой.
(Непрерывность Метризуемое пространство. Эквивалентные метрики)
Топологические свойства (нормальность, 1-ая аксиома, сепарабельность и 2-я аксиома счетности )
Сходимость} последовательностей. Полнота
Свойство Бэра (пересечение открытых плотных множеств, двойственное свойство)
Счетное прямое произведение метрических пространств (задание метрики, проверка аксиом)
Гильбертово пространство и гильбертов куб (Определение. Полнота без доказательства)
СВЯЗНОСТЬ
Определение связности.
(Непрерывные отображения сохраняют связность. Связность и предельные точки.)
Линейная связность
Компоненты. Открытые подмножества евклидовых пространств
Вполне несвязные пространства.
Интервалы числовой прямой (Дедекиндовы сечения)
{Пути в пространстве}. Линейная связность. Локальная связность
График sin 1/x локально не связен и линейно не связен
КОМПАКТНОСТЬ
Определения компактности (через открытые покрытия и через центрированные системы)
Свойства компактности
(наследственность по замкнутым мн-вам. В Т2 компактном пр-ве замкнутые мн-ва компактны, нормальность, отображение компактного в Т2 пр-во замкнуто)
Произведение двух компактных пространств
Локальная компактность. Одноточечная компактификация (Александрова)
Компактность в Rn
КОМПАКТЫ
Определения компактов (секвенциальная компактность)
Компактность и полнота (Компакт = вполне ограниченное и полное метрич. пространство)
Лемма Лебега
Строение компакта (Счетная часть + совершенная).
Канторово множество (Построение, свойства, отображение на отрезок)
НОРМАЛЬНОСТЬ. ЛЕММА УРЫСОНА. МЕТРИЗУЕМОСТЬ
Регулярные и нормальные пространства (теорема Тихонова)
Лемма Урысона
Теорема продолжения непрерывного отображения
Теорема Урысона о вложении в гильбертов кирпич и метризация
-=-=-=-=-
ЧАСТЬ 2. ГОМОТОПИИ. ТЕОРЕМЫ БРАУЭРА. КОМПЛЕКСЫ И ПОЛИЭДРЫ В Rn
ПОНЯТИЕ О ГОМОТОПИИ}. РЕТРАКТЫ
Понятие гомотопии. Эквивалентность. Гомотопические классы отображений. Композиции классов
Гомотопии отображений сферы и в сферу (Отображение сферы 
0 = продолжаемо на шар; Отображение в сферу 
, если образ не вся сфера; близкие отображения гомотопны.)
Гомотопические типы пространств. Прямое произведение типов. Стягиваемые пространства
Ретракты
(ретракт хаусдорфова пр-ва замкнут, продолжение отображения с ретракта на все пр-во)
Абсолютные ретракты и продолжаемость отображений
(Если отображение в Z продолжаемо для нормальных пар, то Z есть AR, AR стягиваем)
Абсолютные окрестностные ретракты и продолжаемость на окрестность
(Если отображение в Z продолжаемо на окрестность для нормальных пар, то Z есть ANR)
Сфера – абсолютный окрестностный ретракт
Лемма Борсука о продолжении гомотопии
СИМПЛЕКСЫ. КОМПЛЕКСЫ. ПОЛИЭДРЫ
Выпуклые множества и симплексы. Линейная структура симплекса
Комплексы, полиэдры и триангуляции
Барицентрические координаты и барицентрическое подразделение
Кусочно линейная аппроксимация отображений в Rn и в сферу
Лемма о продолжении отображения полиэдра в Sn на больший полиэдр
НЕСТЯГИВАЕМОСТЬ СФЕРЫ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
Лемма Шпернера
Неретрагируемость симплекса на край
теоремы о неподвижной точке, о нестягиваемости сферы как следствия неретрагируемости шара
Топологическая инвариантность линейной размерности Rn
ТЕОРЕМА ЖОРДАНА -- БРАУЭРА. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОБЛАСТИ
Отображение Борсука
Теорема Борсука – характеризация свойства компакта разбивать пространство
Теорема Жордана - Брауэра в одну сторону (Следствие теоремы Борсука)
Теорема об инвариантности области
ЧАСТЬ 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
Степень отображения окружности в окружность
Основная теорема алгебры (одно из двух доказательств)
Определение фундаментальной группы
Свойства фундаментальной группы
Примеры: стягиваемые пространства, сфера, тор, проективное пространство
Гомотопический тип связного конечного графа – букет окружностей
Фундаментальная группа букета двух окружностей и свободная группа
