Практикум по решению задач планиметрии с использованием теоремы Менелая

Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 16:1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 21.

Рис. 20

Решение.

Пусть биссектриса точкой делится в отношении , где точка пересечения биссектрис. В – биссектриса, значит . В – биссектриса, значит . . .

Ответ: 357.

Задача 2. Биссектриса угла делит медиану в отношении 3:7, считая от вершины . В каком отношении, считая от вершины , эта биссектриса делит медиану ?

Рис. 21

Решение.

. Для и секущей применим теорему Менелая, имеем:

.

Для и секущей применим теорему Менелая, имеем:

.

Ответ: 28 : 3.

Задача 3. В биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 168. Найдите стороны .

  а)  б)

Рис. 22

Решение.

I способ (22 а).

(по катету и острому углу). Пусть , . – медиана, поэтому . Биссектриса делит сторону в отношении . Для и секущей , применим теорему Менелая:

т. е. .

. Значит, , .

Тогда из по теореме Пифагора находим

и

.

Из по теореме Пифагора имеем

, тогда

.

Ответ: , , .

II способ (22 б).

( – общий катет, ). Значит, , , .

Биссектриса делит сторону в отношении . Пусть , .

Пусть середина отрезка .Тогда – средняя линия . Тогда  , , .

Следовательно, четырехугольник – параллелограмм, в котором диагонали перпендикулярны и делятся точкой пополам. Значит, – ромб. Отсюда следует, что , , .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
Из находим по теореме Пифагора .

.

Далее из по теореме Пифагора имеем .

Отсюда .

Ответ: , , .

Задача 4. Медиана и биссектриса пересекаются в точке , причем . Найдите отношение площади к площади четырехугольника .

Рис. 23

Решение.

Биссектриса делит противоположную сторону в отношении: . Пусть , тогда

.

Для и секущей применим теорему Менелая:

.

Пусть .

а) Тогда и , т. к. медиана делит площадь треугольника на два равновеликих по площади треугольника.

б) Треугольники и имеют одинаковую высоту, опущенную на прямую . Учитывая, что , находим .

Аналогично для и , учитывая , находим .

в) Треугольники и имеют одинаковую высоту, опущенную на прямую . Учитывая, что , находим .

г) .

д) .

Ответ: .

Задача 5. Через середину медианы и вершину проведена прямая, пересекающая сторону в точке . Найдите отношение площади к площади четырехугольника .

Рис. 24

Решение.

Для и секущей применим теорему Менелая:

.  (1)

Учитывая соотношение (1) последовательно вычисляем:

а) Пусть . Медиана делит на два равновеликих по площади треугольника:

.

б) Так как медиана в , то она делит на два равновеликих треугольника:

.

в) Треугольники и имеют одинаковую высоту, опущенную на прямую . Учитывая (1), находим .

г) .

д) .

Ответ: .

Задача 6. Медиана и биссектриса пересекаются в точке , причем . Найдите отношение площади к площади четырехугольника .

Рис. 25

Решение.

Биссектриса делит сторону (рис. 25) в отношении , тогда .  (1) Для и секущей применим теорему Менелая:

.  (2)

Учитывая (1) и (2), последовательно вычисляем

а) Пусть . Медиана делит на два равновеликих по площади треугольника: .

б) Треугольники и имеют одинаковую высоту, опущенную на прямую . Учитывая (1), находим .

в) Треугольники и имеют одинаковую высоту, опущенную на прямую . Учитывая , находим .

г) Треугольники и имеют одинаковую высоту, опущенную на прямую . Учитывая , находим .

д) .

е) .

Ответ: .