Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие  ………………………………………………………………… Введение  …………………………………..………………………………..   1. Спектр и характер сингулярной зависимости  .……………...............   2. Уточнение понятия асимптотического ряда для решений сингу-   лярно возмущённых задач  …………………………………………...   3. Концепция пограничного слоя ……………………………………......   4. Аналитические и псевдоаналитические решения  ……………….....   5. Метод регуляризации  ……………………………………………….. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ДИСКРЕТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ. ОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР Глава I. Теория сингулярных возмущений в случае простого спек-   тра предельного оператора  ………………………………………….   § 1. Постановка задачи Коши и основные условия  ……………………   § 2. От сингулярно возмущённой задачи к регулярно возмущённой... Существование сингулярностей (28). 2. Регуляризация сингу- лярностей (30). 3. Пространство безрезонансных решений (32). 4. Свойства основного оператора (33). 5. Необходимое условие разрешимости расширенной задачи (36).   § 3. Построение регуляризованного ряда  ………………….................... Разрешимость итерационных задач (38). 2. Определение коэф- фициентов ряда в пространстве безрезонансных решений (40). 3. Описание пограничного слоя (43).   § 4. Аналитические решения  …………………………………………… Многочленные решения (47). 2. Пространства векторов экспо- ненциального типа (49). 3. Структура элементов пространства векторов экспоненциального типа (51). 4. Сходимость основного ряда (56). 5. Псевдоаналитичность пограничного слоя (59). 6. Замечание о -аналитических рядах (66). 7. Ограниченность одного оператора относительно другого (67). 8. Примеры (71).   § 5. Асимптотические решения  ………………………………………… Особенности нулевой точки спектра (79). 2. Определение ко- эффициентов регуляризованного ряда (82). 3. Обоснование асимптотической сходимости (85). 4. Пример (88).   § 6. Уравнения произвольного порядка. Аналитичность суммы ос-   новного ряда  ………………………………………………………...   1. Особенности задачи для уравнения произвольного порядка   (92). 2. Пространство векторов экспоненциального типа для   уравнений высокого порядка (93). Глава II. Дискретный пограничный слой, образуемый тождественно   кратным спектром оператора жордановой структуры  …………   § 1. Некоторые особенности задач с кратным спектром предельного   оператора  …………………………………………………………… К истории вопроса и постановка задачи (97). 2. Уравнения разветвления, когда (101).   § 2. Метод регуляризации для задач с кратным спектром  …………... Регуляризация и пространства безрезонансных решений (106). Свойства операторов в пространстве (109). 3. Специальные проекторы и обобщённая лемма Шмидта (112). 4. Некоторые свойства многочленов (114). 5. Основные теоремы теории разрешимости (115). 6. Построение формального асимптотического ряда (123). 7. Оценка остаточного члена (127).   § 3. Особенности метода регуляризации при различных свойствах   структурной матрицы  …………………………………………….... Регуляризация и пространства решений при иных свойствах элементов структурной матрицы (132). 2. Разрешимость точечных задач (134). 3. Применение теорем о разрешимости (142). 4. Асимптотическая сходимость (145). Глава III. Дискретный пограничный слой оператора жордановой   структуры в общем случае  ………………………………………....   § 1. Общие задачи и метод регуляризации  ……………………….…… Постановка задачи, регуляризация и построение пространства безрезонансных решений (149). 2. Свойства операторов и в пространстве (154). 3. Специальные проекторы и обобщённая лемма Шмидта в общем случае (158). 4. Разрешимость итерационных задач (162). 5. Применение теорем о разрешимости для построения регуляризованного решения (170). 6. Обоснование асимптотической сходимости (174).   § 2. Дальнейшие особенности задач с кратным спектром  …………… Структура фундаментальной системы (177). 2. Примеры кон-   кретных систем при различных свойствах структурной матрицы   (178).   § 3. Ряды Лорана и асимптотическое интегрирование  ………………..   1. Постановка задачи и предварительные сведения (190). 2. Ряд   Лорана по степеням и его сходимость (194). 3. Примеры   (203). Глава IV. Математическое описание внутреннего пограничного слоя   и его особенности  …………………………………….……………….   § 1. Новый тип сингулярностей  ………………………………………...   1. Предварительные соображения (208). 2. Постановка задачи   (211).   § 2. Внутренний пограничный слой  …………………………………… Основные соображения по регуляризации (212). 2. Функцио- нальное пространство и операторы расширенной задачи (215). 3. Итерационные задачи и их разрешимость (216). 4. Построение формального регуляризованного ряда (220).   § 3. Асимптотическая сходимость регуляризованного ряда  ……........   1. Оценка остаточного члена (225). 2. Примеры (228).   § 4. Внутренний пограничный слой в условиях кратного спектра  ….. Основные условия и постановка задачи (233). 2. Регуляризация краевой задачи и итерации (235). 3. Построение сопряжённого оператора (237). 4. Разрешимость итерационных задач (239). 5. Использование теорем о разрешимости (247).   6. Оценка остаточного члена (251). 7. Пример (255).   § 5. Псевдоаналитичность решений задач с внутренним пограничным   слоем  ………………………………………………………………… Задача со спектральной особенностью и соответствующие условия (257). 2. Пространства векторов экспоненциального типа с необратимыми представляющими операторами (260). 3. Псевдоаналитичность суммы основного ряда (266). 4. Псевдоаналитичность пограничного слоя (273). ЧАСТЬ ВТОРАЯ ДИСКРЕТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ. НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР Глава V. Построение регуляризованных рядов для операторных   уравнений с простым спектром оператора  …………………….....   § 1. Постановка задачи и её регуляризация  …………………………… Основные предположения (279). 2. Формализм метода регуля- ризации (280). 3. Функциональное пространство безрезонансных решений (281).   § 2. Корректность итерационных задач  ……………………………….. Свойства основного оператора (284). 2. Теоремы о разреши- мости (286).   § 3. Асимптотическое интегрирование  …………………………...........   1. Построение формального асимптотического решения (288).   2. Оценка остаточного члена (291).   § 4. Пример конкретного неограниченного оператора  ……………......   1. Постановка задачи и основные условия (296). 2. Расширенные   и итерационные задачи (299). 3. Однозначная разрешимость ите-   рационных задач (302). 4. Асимптотическая сходимость ряда   (308). 5. Пример (311).   § 5. Некоторые аспекты аналитической теории по возмущению  ……. Постоянный самосопряжённый оператор (312). 2. Перемен- ный оператор. Пространства векторов экспоненциального типа (315). 3. Интегральное представление векторов экспоненциального типа (319). 4. Теоремы о гладкости решений по параметру (321). 5. Уравнение диффузии (325). 6. Гладкость обобщённых решений (329). Глава VI. Особенности пограничного слоя при кратном спектре   оператора  ………………………………………………………………   § 1. Формализм метода регуляризации в случае кратного спектра  …. Задача и основные предположения (335). 2. Задача на спектр при кратном спектре предельного оператора и уравнение ветвления (336). 3. Расширенная задача (341). 4. Пространство безрезонансных решений (342). 5. Итерационные задачи и их разрешимость (346).   § 2. Построение регуляризованного ряда для решения расширенной   задачи  ………………………………………………………………... Определение главного члена асимптотики (353). 2. Обоснова- ние асимптотической сходимости (363). 3. Пример (367). 4. Пограничный слой в случае кратного спектра неограниченного оператора (368). Глава VII. Особенности пограничного слоя при наличии многомер-   ных возмущений. Линеаризованные уравнения Навье-Стокса.   § 1. Постановка задачи и основные предположения  ………………….   § 2. Регуляризация задачи  ……………………………………………….   § 3. Решение итерационных задач  ………………………………………   § 4. Асимптотическая сходимость рядов  ………………………………   § 5. Обычная сходимость рядов  ………………………………………. ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ КОНТИНУАЛЬНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ  …………………………………… Глава VIII. Самосопряжённый оператор с непрерывным спектром...   § 1. Формализм метода в случае непрерывного спектра оператора  …. Постановка задачи и основные предположения (381). 2. Регу- ляризация и пространство безрезонансных решений (383). 3. Единственность асимптотического ряда (385). 4. Теорема об оценке остаточного члена (388). 5. Пример (390).   § 2. Общий случай простого спектра  …………………………………..   1. Выбор регуляризирующих функций и расширенная задача   (395). 2. Пространство безрезонансных решений (396). 3. Вспо-   могательные утверждения (398). 4. Теоремы о разрешимости   (402). 5. Построение формального асимптотического решения    (405). 6. Оценка остаточного члена (412). 7. Пример (414).   § 3. Случай кратного непрерывного спектра …………………………. Построение асимптотики решения (419). 2. Оценка остаточ - ного члена (425). 3. Случай обыкновенного дифференциального оператора (426). 4. Пример (428).   § 4. Случай необратимого предельного оператора …………………... Регуляризация и итерационные задачи (431). 2. Формализм метода регуляризации (435). 3. Оценка остаточного члена (439). 4. Пример (442). ЧАСТЬ ЧЕТВЁРТАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ  ……………………………………………………………………. Глава IX. Применение метода регуляризации сингулярных возму-   щений к решению краевых задач для вырождающихся эллип-   тических дифференциальных уравнений  ………………………..   § 1. Метод спектрального выделения особенностей для вырождаю-   щихся эллиптических дифференциальных операторов  ………….. Построение формального решения (447). 2. Формулировка ре- зультатов (450). 3. Доказательство леммы 2 (454). 4. Доказательство леммы 4 (457). 5. Доказательство следствий из лемм (458). 6. Пример (461).   § 2. Малые знаменатели в аналитической теории вырождающихся   дифференциальных уравнений  …………………............................   § 3. Пример  ………………………………………………………………. Глава X. Качественное и аналитическое исследование дифференци-   альных уравнений с особенностями и псевдоаналитичность   их решений  ……………………………….…………………………   Введение  …………………………………………………………………   § 1. Теоремы существования и единственности решения для некото-   рых вырождающихся уравнений в частных производных  ……….   § 2. Задача с подвижной регулярной особой точкой и её регуляриза-   ция  ……………………………………………………………………   § 3. Аналитичность суммы основного ряда и определение его коэф-   фициентов в квадратурах  ……………………………………………   § 4. Структура степенного пограничного слоя  ………………………...   § 5. Псевдоаналитичность суммы погранслойного ряда  ……………...   § 6. Доказательство теоремы об аналитичности суммы основного ря-   да  …………………………………………………………………….   § 7. Доказательство утверждений о структуре степенного погранич-   ного слоя  ……………………………………….…………………… Послесловие ………………………………………………………………….   § 1. Развитие метода регуляризации сингулярных возмущений………   § 2. Применение метода регуляризации сингулярных возмущений   при решении тепловой задачи трения  ……………………………..   § 3. Контрастные структуры в сингулярно возмущённых уравнениях..    § 4. Некоторые другие направления исследования пограничного слоя Литература  ………………………………………………………………….. Предметный указатель  ……………………………………………………...

8 9 11 14 17 21 23 26 26 28 38 46 79 92 97 97 106 131 148 149 177 189 207 208 211 225 232 257 278 278 284 288 295 312 335 335 353   370   370   373   375   376   377   380   381   381   393 417 430 445 446 446 462 483 493 493 496 499 501 502 505 508 514 525 525 547 551 554 557 569