Задания для тренировок 2017

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТРЕНИРОВОК 2017

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Вычислить: а) , б), в) . В зависимости от параметров а и b найти: а) , б) . Исследовать на непрерывность, сделать чертеж: а), б) При каком функция будет а) непрерывной, б) дифференцируемой? Найти производную функции :  а) , б) , в) . Техника дифференцирования и производная сложной функции − смотри задания на практических занятиях. Определить промежутки монотонности и точки экстремума: а) ; б) . Найти асимптоты графика функции: а) , б) , в) . Исследовать функцию и построить график: а) , б) . Для чисел , выполнить указанные операции: , , , , , . Интегрирование. Смотри задания типового расчета.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ  И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Найти произведение  матриц AD, AB, BA, AC, CA, DB, BD, если они существуют:

, , ,.

Найти ранг матриц в зависимости от параметра : а) , б) . Найти , если , . Решить систему  а) методом Крамера, б) матричным метолом, в) методом Гаусса. Найти матрицу Х, если . Определите координаты вектора , если A(0;1;6), B(4;2;1), C(3;-5;1),D(2;7;2). Найти единичные векторы и , если , ,  , . При каких значениях α и β векторы и коллинеарны? Являются ли точки , ,  , вершинами а)°трапеции,  б) параллелограмма? Даны векторы и . Найти: 1) координаты и длину вектора ; 2) ; 3) угол между векторами  и . Докажите, что векторы и ортогональны. При каком значении α векторы и перпендикулярны? Даны вершины . Найдите угол при вершине С. Найти , если , . Даны точки А(4;-3;-1), В(2;5;-1) и вектор . Найдите косинус угла между векторами и . Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , ,  если ,  угол между  и равен . Найти работу силы по перемещению ее точки приложения на вектор , если , а угол . Даны векторы и . Найти . Найдите площадь , если .  Построить по определению вектор . В точке А(1,3,3) приложены три силы , . Найти: а)°работу равнодействующей силы при перемещении материальной частицы из точки А в точку В; б)°величину момента равнодействующей силы относительно точки В(-1,2,5). Вычислите а) скалярное, б) векторное произведения векторов и , если , , угол между векторами и равен . Найти вектор , коллинеарный  вектору и удовлетворяющий условию . Определить вектор , если , . Даны два вектора . Найти  вектор , зная, что он перпендикулярен оси Ox  и удовлетворяет условиям , Разложить вектор по векторам как по базису. Вычислить смешанное произведение , если , , . Установите, компланарны ли векторы , , . Вычислите объем треугольной пирамиды с вершинами в точках A(2;–1;5), B(4;2;1), C(–3;5;1),  D(3;7;2). Проверьте, лежат ли точки A(3;–1;5), B(4;0;1), C(–3;5;1), D(-3;7;2) в одной плоскости. Вычислить высоту пирамиды с вершинами Даны точки А(4,-2,-2), В(3,1,1), С(4,2,0), D (7,-1,-6). Показать, что  векторы  линейно  зависимы.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ  И В ПРОСТРАНСТВЕ

Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(2;1), перпендикулярно прямой . Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты и медианы, проведенные из вершины С. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых   и а) параллельно прямой , б) параллельно оси ординат. Написать уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент 2 и проходящей через середину отрезка АВ, если А(-3;5) и В(1;-1). Через точку провести прямые, параллельные асимптотам гиперболы Построить линию, определяемую уравнением  . Запишите уравнения асимптот, если они существуют. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точки и от прямой относится как 3:4. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой  лежат на оси ОХ симметрично начала координат, если уравнения асимптот и гипербола проходит через точку . Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ и проходящей через точки пересечения прямой и окружности . Найти  точку пересечения прямой и плоскости . Найти угол между плоскостями и . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости . Найти угол между: 1) двумя прямыми   и ;

2) прямой и плоскостью . 

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, которая проходит через точку  параллельно прямой Найти точку, симметричную точке относительно плоскости . При каких значениях и прямая параллельна: а) плоскости ,  б) прямой , , .  Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно вектору  и перпендикулярно плоскости . Для плоскости, проходящей через точки А(-1,0,2), В(-1,2,1), С(1,4,1), найти нормальный вектор. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно плоскости, проходящей через точки , и . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую . Выяснить взаимное расположение двух прямых и . Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .

Функции нескольких переменных

Найти производную функции в точке по направлению вектора . Найти 1) , 2)  в точке М, если , М(1,2), Найти частные производные второго порядка функций: а) , б) z = ln(3xy + y2). Найти  ,  если  1) ; 2) ez – xyz = 0. Исследовать на экстремум функции двух переменных:

а) ; б)°;  в) .

Найти наименьшее и наибольшее значения функций в указанных областях D:

а) z = x – 2y – 3,  D:  x + y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1;

б) z = x2 + y2 – 12 x + 16y,  D:  x2 + y2 ≤ 25.

в) z = x3 + 8y3 – 6xy + 1, границы D:  x =0, x = 2, y =1, y = – 1

Написать уравнения касательной плоскости и нормали в указанной точке к следующим поверхностям:  1) z = arctg() в точке М(1; 1;