Лекция 1
Числовые множества
Понятие множества в математике является основным и поэтому никак не определяется. Его только можно выразить синонимами: совокупность, собрание и др. Все объекты данного множества должны обладать некоторым общим для них характеристическим свойством. Объекты, образующие множество, называются его элементами. Математическое понятие множества, в отличие от обычного смысла, не связывается обязательно с большим числом элементов. В математике множество может содержать три, два, один элемент или не содержать ни одного элемента – пустое множество.
Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита или фигурными скобками. За наиболее часто встречающимися числовыми множествами исторически закрепились следующие буквенные обозначения:
- множество натуральных чисел;
- множество целых чисел;
Q = 
- множество рациональных (дробных) чисел;
- множество действительных (вещественных) чисел.
Ш – символ пустого множества.
Когда мы хотим выразить принадлежность того или иного числа или переменной величины определенному числовому множеству, используем следующие обозначения:
, 
, 
, 
, 
.
Символ 
читается “принадлежит”.
Числовая функция
Пусть дано непустое числовое множество 
, и пусть каждому числу
ставится в соответствии по некоторому правилу число 
, то говорят, что на множестве 
определена числовая функция. Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, чаще всего буквой f, и пишут
.
В этой записи x называют аргументом или независимой переменной. Числовое множество X называют областью определения функции и обозначают 
. Число 
, соответствующее значению аргумента 
, называется значением функции при 
(или значением функции в точке 
). Множество всех значений функции f на множестве 
называется областью значений функции 
и обозначается 
. Если же 
не принадлежит области определения функции, т. е. 
, то говорят, что функция 
не определена в точке 
.
Приведём примеры некоторых числовых функций.
Площадь круга вычисляется по формуле 
, где 
- радиус круга, отсюда площадь круга есть функция от радиуса 
, т. е.
.
Площадь квадрата вычисляется по формуле 
, где 
- длина стороны квадрата. Следовательно, площадь квадрата есть функция от длины его стороны. Эту зависимость можно записать так:
.
Следующие способы используются для задания функции:
- аналитический, т. е. формулой; табличный; графический; словесный.
При аналитическом способе задания функции её областью определения является множество значений аргумента, при которых формула, выражающая закон соответствия, имеет смысл. Например, найдите область определения функции 
.
Решение. 
Ответ: 
Для функций 
и 
, определенных для одних и тех же значений аргумента, можно найти их сумму, разность, произведение и частное. Это новые функции 
, 
, 
, 
, где
, 
.
Пусть заданы функции y =ц(x) и z = f(y) и пусть область значений функции ц содержится в области определения функции f. Функцию
z = f(ц(x)), 
D(ц),
называют сложной функцией или композицией функций ц и f. Например, 
. Здесь 
, а 
.
Предел функции. Теоремы о пределах
Пусть функция 
определена в проколотой 
окрестности точки 
, т. е. на множестве 
Определение 1. (по Коши) Число a называется пределом функции 
в точке 
, если для каждого 
существует такое число 
, что для всех x, удовлетворяющих условию 
, выполняется условие 
.
В этом случае пишут 
. Читаем: “Предел эф от икс при икс, стремящемся к икс ноль, равен а”.
Дадим геометрическое толкование этому определению (рис. 1).
Рис. 1.
Какую бы точку 
на оси Ох в проколотой 
окрестности точки 
мы не взяли, соответствующая ей точка на оси Оу, находится в заданной 
окрестности точки 
.
Воспользуемся данным определением предела функции в точке, чтобы доказать, что число 7 является пределом функции 
при 
, стремящемся к 3.
Решение. Выберем произвольное значение 
и найдём соответствующее ему значение 
, такое, что из неравенства 
следует 
. Составим и решим неравенство
. Последнее неравенство показывает, что как только 
, выполняется требуемое неравенство 
. Это доказывает, что 
.
Определение 2. Число a называется пределом функции 
при 
, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого 
существует такое число 
, что для всех 
, удовлетворяющих условию 
, выполняется условие 
.
В этом случае предел записываем так: 
.
Определение 3. Число a называется пределом функции 
при 
, стремящемся к минус бесконечности, если для любого 
существует такое число 
, что для всех 
, удовлетворяющих условию 
, выполняется условие 
.
Соответственно, предел записываем так: 
.
Техника вычисления пределов функций основывается на следующих утверждениях, доказательства которых мы опускаем.
Если функции 
и 
имеют пределы при 
, стремящемся к 
, то верны следующие утверждения:
1) 
;
2) 
;
2.1) Следствие.
3) 
, а также
4) 
(первый замечательный предел);
5) 
где 
- число Немпера (второй замечательный предел).
Непрерывные и разрывные функции
В математике различию между плавным и скачкообразным изменением величин соответствует различие между непрерывными и разрывными функциями. Поскольку одна и та же величина может изменяться как плавно, так и скачкообразно, следует различать точки непрерывности и точки разрыва одной и той же функции. Точки непрерывности характеризуются тем, что при малых изменениях аргумента мало изменяется значение функции, а точки разрыва – тем, что в них при малых изменениях аргумента изменения функции могут быть значительными.
Определение 3. Функция 
называется непрерывной в точке 
, если выполнены два условия:
и некоторой окрестности этой точки; для любого 
существует такое 
, что из неравенства 
следует неравенство 
.
Свойству непрерывности функции можно дать и другое определение, эквивалентное данному.
Определение 4. Функция 
называется непрерывной в точке 
, если
.
Это определение предъявляет функции 
следующие требования:
должна быть определена в точке 
и некоторой её окрестности; функция 
должна иметь в точке 
предел; этот предел должен совпадать со значением функции в точке 
. Данное определение означает, что для непрерывной функции в точке 
знаки 
и 
перестановочны, т. е.
.
Эту особенность непрерывной функции можно описать так: предел функции равен значению функции от предела аргумента.
Определение 5. Функция 
называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
В качестве примера докажем, что линейная функция 
является непрерывной на всей своей области определения.
Решение. Пусть 
, 
. По определению 
. Подставим в неравенство выражение, определяющее линейную функцию, получим
.
Разделив обе части последнего неравенства на 
, имея в виду, что 
, получим 
. Положим 
, тогда из 
.
Так как мы доказали непрерывность линейной функции для любого действительного значения аргумента, тем самым мы доказали, что линейная функция непрерывна на всей своей области определения.
Все элементарные функции непрерывны на области определения. Элементарными функциями являются: целые рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, степенные, тригонометрические, обратные тригонометрические.
Классификация точек разрыва функции
Если условие непрерывности функции 
в точке 
не выполнено, то функция имеет разрыв в этой точке.
Говорят, что функция 
имеет в точке 
разрыв первого рода, если существуют конечные пределы как слева, так и справа от точки
. Например, на рисунках 2 и 3, соответсвенно, изображены графики функций, имеющих разрыв первого рода:
и
.
.
Рис.2 Рис. 3
Если хотя бы один из пределов функции 
при 
слева или справа не существует или бесконечен, то точка 
называется точкой разрыва второго рода функции 
. В качестве примера рассмотрим поведение функции 
в окрестности точки 
. Область определения функции – все действительные числа, кроме числа 4, т. е. 
. В самой точке 
функция неопределенна и, следовательно, имеет разрыв. Исследуем характер этого разрыва. Вычислим односторонние пределы функции 
при 
, 
.
Следовательно, в точке 
данная функция имеет разрыв второго рода.
