Призма с правильным треугольником в основании
Задача.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна площади основания. Вычислите длину бокового ребра, если сторона основания 7см
Решение.
Площадь правильного треугольника в основании призмы находится по формуле: 
Воспользуемся первой формулой.
По условию задачи a = 7 см
Так как площадь грани призмы в данном случае будет равна 7h, где h - высота бокового ребра, количество граней - три, то
49√3 / 4 = 3 * 7h
49√3 / 4 = 21h
откуда
h = 7√3 / 12
Ответ: длина бокового ребра правильной треугольной призмы равна 7√3 / 12
Задача.
Высота правильной треугольной призмы равна h.
Найдите объем призмы, если диагонали боковых граней, не исходящие из одной точки, перпендикулярны.
Решение.
Поскольку в основании призмы по условию лежит правильный треугольник, то все боковые грани в основании равны. Поскольку диагонали каждой из них пересекаются под прямым углом, то боковые грани представляют собой квадрат. Докажем это. 
Отдельно изобразим одну из граней и обозначим ее ABCD. Поскольку AD = BC как основания прямой призмы, углы BOC = AOD как вертикальные, а BCO = OAD, OBC = ODA как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC. То есть треугольники BOC и AOD равны.
Отсюда следует, что BO = OD, значит треугольники BOC и COD также равны, у них смежная сторона OC, а углы COB = COD = 90 градусам. Из этого следует, что CD =BC = AD = AB.
ABCD - квадрат
Следовательно, объем призмы будет равен
V = Sh
Площадь основания - правильный треугольник. Откуда
S = √3/4 h2
V = √3/4 h3
Ответ: √3/4 h3 .
Задача
Найти площадь правильной треугольной призмы, сторона основания которой 6 см, а высота - 10 см.
Решение.
Площадь правильного треугольника в основании призмы находится по формуле: 
Принимаем во внимание первую формулу.
По условию задачи a = 6 см откуда S = √3 / 4 * 36 = 9√3
Поскольку у правильной треугольной призмы оснований два, то площадь оснований будет равна
9√3 * 2 = 18√3
Площадь каждой из граней будет равна 6 * 10 = 60, а поскольку граней три, то 60 * 3 = 180
Таким образом, площадь полной поверхности призмы будет равна 180 + 18√3 ≈ 211, 18 см кв.
Ответ: 180 + 18√3 ≈ 211,18
Задача
Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найти объем призмы. Решение. Поскольку призма треугольная, то боковых грани три, таким образом, площадь боковой поверхности можно найти по Формуле 1 Оснований у призмы два, поэтому их площадь равна двум площадям равностороннего треугольника со стороной а. Формула 2 По условию задачи они равны (Формула 3) Выразим из получившегося равенства высоту призмы (Формула 4) Подставим получившееся выражение в формулу объема призмы и найдем ответ (Формула 5) | Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює а, бічна поверхня рівновелика сумі підстав. Знайти об'єм призми. Рiшення. Оскільки призма трикутна, то бічних грані три, таким чином, площу бічної поверхні можна знайти по Формулі 1 Основ в призми двi, тому їх площа дорівнює двом площам рівностороннього трикутника із стороною а. Формула 2 По умові завдання вони рівні (Формула 3) Виразимо з рівності, що вийшла, висоту призми (Формула 4) Підставимо вираження, що вийшло, у формулу об'єму призми і знайдемо відповідь (Формула 5) |
