8 класс

8 класс

Зная, что , найдите значение выражения .

Решение:

n = 3m

n-2m/ m = 3m – 2m/ m = m/m = 1

Ответ. 1

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению .

Решение:

( х – у)( х + у) = 69

При разложении числа 69 на множители получим следующие пары чисел: 3 и 23, 1 и 69.

Значит, х – у = 3

  х + у = 23

Отсюда, х = 3 + у

Подставим во второе уравнение: 3 + у + у = 23

  2у = 20

  у = 10

  х = 10 + 3 

  х = 13

х – у = 1

х + у = 69

Отсюда, х = 1 + у

Подставим во второе уравнение: 1 + у + у = 69

  2у = 68

  у = 34

  х = 34 + 1

  х = 35

Ответ. Пары натуральных чисел 3 и 23, 1 и 69

Число А составляет 92% от числа В. Если В увеличить на 700, то оно будет больше А на 9% от увеличенного В. Найдите эти числа.

Решение:

92% = 0, 92

9%  = 0,9

Значит, А = 0, 92·В

  В + 700 = А + 0, 09·А

Подставим значение А во второе уравнение:

В + 700 = 0, 92·В + 0, 09·0,92·В

700 = 0, 0028·В

В = 250000

А = 0, 92·250000

А = 230000

Ответ. А - 230000, В - 250000

Найдите два числа, зная их сумму 168 и общий дели

Решение:

Представим сумму этих чисел в виде уравнения, предварительно умножив каждый из них  на 24:

24х + 24у = 168

х + у = 7

х = 1 у = 6 – 24 и 144

х = 2 х = 5 – 48 и 120

х = 3 х = 4 – 72 и 96

Ответ. 24 и 144, 48 и 120, 72 и 96

Вычислить .

Решение:

5·415·99 - 4·320· 89  5·230 · 318 - 22· 320· 227  5·230·318 -320·229__ 

5·29· 619 - 7·229·276  =  5·29 ·219 ·319 - 7·229·318  =  5·228 ·319 - 7·229·318  = 

  229·318( 2· 5- 32)  2·( 10 - 32)  2·1

=  228·318 ( 5·3 – 7·2)  =  15 – 14  =  1  =  2

Ответ. 2

6)  Два одинаковых катера, имеющие одинаковую скорость в стоящей воде,  проходят по двум рекам одинаковое расстояние по течению и возвращаются обратно. В какой реке на эту поездку потребуется больше времени в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением?

Решение:

Пусть скорость катера – V, скорость реки с быстрым течением – V1, скорость реки с медленным течением  – V2 , расстояние – S. Скорость катера  по течению – V + V1 , V + V2 , против течения – V-V1,  V - V2. Время, пройденное катером по реке с быстрым течением туда и обратно: t1 = S/ V + V1  + S/ V - V1 = 2SV/ V2 – V1 2.

Время, пройденное катером по реке медленным  течением туда и обратно: t2 = S/ V + V2  + S/ V – V2 = 2SV/ V2 – V2 2.

Сравним время прохождения по рекам: 2SV/ V2 – V1 2 > 2SV/ V2 – V2 2, так как V1 >V2 . Значит, больше времени потребуется на поездку по реке с быстрым течением.

Ответ. С быстрым течением

Найти положительное четырехзначное число, кратное 7 и представляющее  собой сумму куба и квадрата некоторого целого числа.

Решение:

Положительное четырехзначное число представим в виде х3 + х2.

Используя таблицу степеней чисел, подберем такое число куб и квадрат, которого в сумме составляли бы четырехзначное число и были кратны 7. Такое число 13.  132 + 133 = 2366. Число 2366 делится на  7.

Ответ. 2366

8)Основания трапеции равны 3 и 2. Диагонали его равны 4 и 3. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Ответ: S трапеции = 6.

9)Доказать, что если , то

Решение:

а3 + а2с – авс + в2 с + в3 = 0

( а + в) (а2 – ав + в2 ) + а2 с – авс + вс2 = 0

( а + в) (а2 – ав + в2 ) + ( а2 + в2) с – авс = 0

( а + в) (а2 – ав + в2 ) + с(а2 – ав + в2) = 0

(а2 – ав + в2) ( а + в + с) = 0

(а2 – ав + в2) 0 = 0

0 = 0 – что и требовалось доказать

10)Узнать, через сколько минут после того как часы показывали 4 часа, минутная стрелка догнала часовую?

Решение:

Часовая стрелка движется со скоростью 1/12 делений в минуту. За 20 минут  пройдет 20/12 делений.  Пусть время движения минутной стрелки до отметки в 4 часа – х, тогда часовая стрелка пройдет ( 20/12 + х*1/12) делений,
х = 20/12 + х * 1/12
х = 1,818 мин( время движения стрелок от отметки 4 часа)
1,818 + 20 =21,818 минут (через это время минутная стрелка догонит часовую после того, как часы показали ровно 4 часа) или примерно 22 минуты.

Ответ. 21, 818 ≈ 22 минуты