ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Правильные и неправильные дробиОпределение. Рациональной дробью называется выражение вида 
, где P(x) и Q(x) - многочлены.
Определение. Рациональная дробь 
называется правильной, если степень многочлена P(x) в ее числителе меньше степени многочлена Q(x) в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.
Утверждение. Всякая неправильная рациональная дробь 
с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду
где 
- многочлен (целая часть при делении), а 
- правильная рациональная дробь (остаток).
Поэтому 
Так как интеграл 
вычисляется элементарно (сводится к сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.
Определение. Правильные дроби следующих четырех типов называются простейшими (или элементарными) дробями:
I. 
II. 
III. 
IV. 
При этом предполагается, что A, B, p, q - действительные числа, а квадратный трехчлен 
в дробях III и IV типов не имеет действительных корней (т. е. 
).
Утверждение. Каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей указанных четырех типов.
А именно: если знаменатель данной правильной дроби 
разложен на неповторяющиеся линейные и квадратные множители
где 
- натуральные числа, то эту дробь можно представить в виде следующей суммы простейших:
Коэффициенты 
в разложении находятся с помощью метода неопределенных коэффициентов или метода частных значений. Общее число этих коэффициентов равно степени многочлена Q(x).
Интегрируя правильную дробь, мы сначала раскладываем ее на сумму простейших, а затем интегрируем каждое слагаемое в этом разложении. Вычисляя интегралы от простейших дробей, надо иметь в виду, что:
I. Простейшие дроби первых двух типов - почти табличные:
1. 
Замечание. 
2. 
Замечание. 
II. При интегрировании простейшей дроби третьего типа необходимо выделить полный квадрат из выражения 
и сделать соответствующую подстановку.
Последнее выражение в скобках, по предположению, есть число положительное, его можно положить равным 
, если взять 
Теперь прибегнем к подстановке
Таким образом, будем иметь:
или, возвращаясь к 
и подставляя вместо 
его значение:
Вывод. При интегрировании дробей третьего типа в общем виде получаем сумму натурального логарифма и арктангенса.
Пример.
почленно разделив числитель на знаменатель, получаем
используем свойство интегралов (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций)
далее возвращаясь к первоначальной переменной х получаем (в первом выражении сначала к переменной t, а потом к х):
Примеры интегрирования правильных дробей, которые представляются в виде суммы простейших дробей указанных четырех типов
Подынтегральная дробь - правильная. Разложим ее на сумму простейших дробей первого типа:
Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А и В, приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю, откуда
т. е. 
Из полученного равенства можно найти коэффициенты А и В двумя способами: с помощью метода неопределенных коэффициентов или метода частных значений. Рассмотрим оба способа.
Метод неопределенных коэффициентов. Раскрываем скобки в правой части равенства (*) и сгруппируем члены с одинаковыми степенями:
Так как многочлены в обеих частях полученного равенство тождественно равны, то у них должны быть равны и коэффициенты при соответствующих степенях переменной х. Сравнивая эти коэффициенты, получаем систему двух уравнений:
Решая эту систему, найдем А = 5, В = 2.
т. е. 
откуда А = 5.
Подставляя теперь в уравнение (*) значение х = -2 (удобнее всего подставлять значения, обращающие одну или несколько скобок в правой части равенства в ноль; эти значения совпадают с действительными корнями знаменателя подынтегральной дроби), получим
откуда В = 2. Таким образом,
тогда,
