Вариант 8

Вариант 8

Вопрос 1. Поток платежей. Основные характеристики.

Поток платежей - это распределенная во времени последовательность платежей. Сумма отдельного платежа называется членом потока. Платеж со знаком “+” означает поступление денег, платеж со знаком “ – “ - расход денег.

Процентная ставка потока платежей - сложная процентная ставка, используемая для наращения и дисконтирования членов потока.

Поток платежей называется конечным, если число платежей в нем конечно, и бесконечным, если срок действия потока неограничен.

Потоки платежей могут быть как регулярными, так и нерегулярными. Члены регулярного потока поступают через одинаковые промежутки времени, имеют одно и то же назначение (одинаковый знак) и изменяются во времени в соответствии с некоторым временным законом. Регулярные финансовые потоки называют также финансовыми рентами. Члены нерегулярного потока могут быть как положительными, так и отрицательными, временные интервалы между членами потока неодинаковы, а размеры платежей не подчиняются какому-либо временному закону.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму его членов, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающих с началом потока платежей или упреждающий его Современная величина потока платежей характеризует приведенные издержки, капитализированный доход, чистую приведенную прибыль и т. д.

Наращенная сумма– сумма всех членов последовательных платежей с начисленными на них процентами к концу его срока. Наращенная сумма может представлять сбой общую сумму задолженности, итоговый объем инвестиций, накопленный на момент оценки денежный резерв и т. д.

Вопрос 2. Как определяется наращенная сумма годовой ренты?

1. Обычная годовая рента.

Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины так как на сумму R проценты начислялись в течение (п - 1) года. Второй взнос увеличится до и т. д. На последний взнос проценты не начисляются.

Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

в которой первый член равен R, знаменатель (1+ i), число членов п. Эта сумма равна

где

называется коэффициентом наращения ренты. Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i.

Годовая рента, начисление процентов m раз в году.

Пусть платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют т раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m, где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид

Если прочитать предыдущую строку справа налево, то получим геометрическую прогрессию, первый членом которой R, знаменатель (1+ j/m)m, число членов п. Сумма членов этой прогрессии будет наращенной суммой ренты. Она равна

Рента p-срочная, m=1

Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается p раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года. Если  R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/p. Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,

,

у которой первый член R/p, знаменатель (1+i)1/p, общее число членов n p. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии

,

где

Рента p-срочная, p=m

В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей p в году и число начислений процентов m совпадают, т. е. p=m. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

.

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год.

Таким образом получаем

.

Рента p-срочная, p≥1, m≥1

Это самый общий случай p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем, возможно pіm.

Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/p года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

.

Второй член ренты к концу срока возрастет до

и т. д. Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p, число членов n m.

В результате получаем наращенную сумму

.

Вопрос 3. Коэффициент приведения годовой ренты.

Обычная годовая рента

- коэффициент приведения ренты постнумерандо.

Коэффициент приведения ренты пренумерандо определяется по формуле:

Задача 1. Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Через сколько лет начальная сумма увеличится на 50%?

Формула наращения сложных процентов имеет вид:

, где

- первоначальная сумма;

- наращенная сумма;

- сложная процентная ставка;

- период начисления (в годах);

Выразим из формулы период начисления n:

По условию сказано, что начальная сумма увеличится на 50 %, т. е. S = 1,5P. Тогда

=3 года

Задача 2. Для ренты с параметрами: годовая ставка процента – 12%, годовой платеж – 19 000., длительность ренты – 9 лет, получить следующие ее характеристики: коэффициенты приведения и наращения; современную и наращенную величины.

Для сложных процентов.

Современная величина ренты при сложной процентной ставке:

, где r – процентная ставка, - коэффициент приведения.

Наращенная величина ренты при сложной процентной ставке:



, где - коэффициент наращения.

Находим коэффициент приведения:

а==5,328

Современная величина ренты : 19000Ч5,328=101232

Коэффициент наращения:

s= =14,77

Наращенная величина: 19000Ч14,77=280630

Для простых процентов.

Современная величина ренты при простой процентной ставке:

, где i – ставка простых процентов,

- коэффициент приведения.

Наращенная величина ренты при простой процентной ставке:

, где - коэффициент наращения.

Найдем коэффициент приведения:

9Ч(1+0,12)-1=8,03

Современная величина ренты:

19000Ч8,03=152570

Найдем коэффициент наращения:

s=9[1+]=13,32

Наращенная величина:

S=19000Ч13,32=253080