Формулы для определения деформаций внешне статически неопределимой фермы от действия сосредоточенной и распределенной нагрузки
УДК 624.07
cтудент, Национальный исследовательский университет «МЭИ»,
111250 (4);
e-mail: *****@***com;
cтудент, Национальный исследовательский университет «МЭИ»,
111250 (4);
e-mail: *****@***ru;
студентка, Российский химико-технологический университет имени ;
125047 (г. Москва, Миусская пл., 9);
e-mail: *****@***com
Аннотация: Ферма с одной неподвижной шарнирной и тремя подвижными опорами имеет двойную крестообразную решетчатую структуру. Выводятся аналитические зависимости прогиба от числа панелей. Уравнения для определения усилий в стержнях решаются в символьной форме в системе компьютерной математики Maple. Применяется формула Максвелла - Мора и метод индукции для получения общего решения.
Ключевые слова: Ферма, прогиб, формула Максвелла - Мора, Maple
FORMULAS FOR DETERMINING DEFORMATIONS OF AN EXTERNALLY STATICALLY INDETERMINATE TRUSS FROM THE ACTION OF A CONCENTRATED AND DISTRIBUTED LOAD
Belyankin Nikita Andreevich
student, National Research University "MEI"
111250 (Moscow, Krasnokazarmennaya str., 14);
e-mail: *****@***com;
Boyko Andrey Yurievich
student, National Research University "MEI"
111250 (Moscow, Krasnokazarmennaya str., 14);
e-mail: *****@***ru;
Plyasova Anna Alexeevna
student, Russian University of Chemical Technology named after D. I. Mendeleev University;
125047 (Moscow, Miusskaya Square, 9);
e-mail: *****@***com
Annotation: A truss has one fixed hinged and three movable supports and a double cross-shaped lattice structure. Analytical dependences of the deflection on the number of panels are derived. Equations for determining the forces in rods are solved in symbolic form in the system of computer mathematics Maple. The Maxwell-Mohr formula and the method of induction are used to obtain a general solution.
Keywords: Truss, deflection, Maxwell-Mohr formula, Maple
Расчет перемещений узлов фермы, необходимый для оценки ее деформативности, обычно выполняют численно в одном из стандартных пакетов. С увеличением числа стержней в ферме увеличивается и размер матрицы уравнений равновесия узлов. Начиная с некоторого значения, любой численный метод начинает давать погрешности, недопустимые, если речь идет о таких ответственных расчетах, как расчеты мостов, покрытий промышленных сооружений, концертных залов, стадионов. Именно в таких сооружениях как правило применяются фермы с большим числом панелей. В работах [1-3] показано, что для многих статически определимых стержневых регулярных (с периодической решеткой) ферм возможно получить формульное решение, свободное от упомянутого "проклятия размерности". Аналитические решения для пространственных [4-10] и плоских ферм [11-19] получены с использованием системы компьютерной математики Maple и метода индукции. В настоящей работе на основе программы [20] для нахождения усилий в стержнях статически определимых фермах и упомянутого метода индукции выводятся формулы для прогиба центрального узла плоской фермы (рис. 1). Ферма с n панелями (считаются по нижнему поясу) содержит m=4n+18 стержней и 2n+9 сочленяющих узлов. Ферма статически определима, однако из трех уравнений равновесия конструкции в целом (как это обычно делается в начале расчета) найти пять реакций не удается. Это связано с тем, что ферма без опор не является жестким телом и имеет две степени свободы. Отсюда неизбежно применения полного расчета фермы вырезанием всех узлов и составление общей системы равновесия.
1. Рассмотрим решение задачи о действии сосредоточенной силы. В программу [20] вводятся координаты узлов, порядок соединения стержней и узлов. Результатом расчетов являются аналитические выражения для усилий. Смещение вычисляется по формуле Максвелла – Мора
где 
— усилия в стержнях фермы от действия единичной нагрузки P, 
— длины стержней, EF — жесткость стержней (принята одинаковой для всех стержней). Принимается четное число панелей n=2k. Суммирование ведется по всем стержням, кроме опорных. В процессе счета было замечено, что при k=2,5,8... определитель системы уравнений равновесия обращается в ноль. Для того, чтобы исключить эти значения из метода индукции для параметра k выбирается закон изменения 
, j=1,2,3...
Рис.1. Ферма при значениях 
Получено следующее выражение для прогиба
(1)
где 
. Методом индукции найдены коэффициенты
,
.
Для этого из решений для ферм с числом панелей от 1 до 14 были выявлены последовательности коэффициентов перед кубами линейных размеров a и c соответственно:
Оператор rgf_findrecur из пакета genfunc системы Maple по этим данным дал рекуррентные уравнения, которым удовлетворяют члены последовательностей:
,
.
График зависимости прогиба фермы от числа панелей при 
, имеет вид (рис. 2).
Рис.2. График зависимости прогиба фермы от числа панелей, L=100м
Одновременно с выводом формулы для прогиба можно получить и формулы для расчета реакции опоры стержней. Горизонтальная компонента реакции неподвижной опоры: 
. Вертикальные реакции подвижных опор: 
,
.
2. Рассчитаем в (1) коэффициенты от распределенной нагрузки ( рис.3).
Рис.3. Ферма с распределенной нагрузкой
Методом индукции получено
,
.
Для этого из решений для ферм с числом панелей от 1 до 18 были выявлены последовательности коэффициентов перед кубами линейных размеров a и c соответственно:
7, 207, 399, 1871, 2811, 7683, 10315, 21771, 27423, 49703, 60087, 98487, 115699, 176571, 203091, 293843, 332535, 461631
Оператор rgf_findrecur из пакета genfunc системы Maple по этим данным дал рекуррентные уравнения, которым удовлетворяют члены последовательностей:
.
Список цитируемой литературы
Hutchinson R. G., Fleck N. A. Microarchitectured cellular solids – the hunt for statically determinate periodic trusses // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 2005. 85, No. 9, Pp. 607–617. Hutchinson R. G., Fleck N. A. The structural performance of the periodic truss // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2006. Vol. 54. No. 4. Pp. 756-782. Zok F. W., Latture R. M., Begley M. R. Periodic truss structures // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2016. vol. 96. Pp. 184–203. https://doi. org/10.1016/j. jmps.2016.07.007 Kirsanov M. N. Stress State and Deformation of a Rectangular Spatial Rod Cover // Scientific Herald of the Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering. Construction and Architecture. 2016. Vol. 31. No. 3. Pp. 71–79. Kirsanov M. N. Analysis of the buckling of spatial truss with cross lattice // Magazine of Civil Engineering. 2016. No. 4. Pp. 52 – 58. DOI: 10.5862/MCE.64.5 Аналитическое исследование жесткости пространственной статически определимой фермы // Вестник МГСУ. 2017. Т. 12. Вып. 2 (101). С. 165–171. , Анализ влияния упругих деформаций мачты на позиционирование антенного и радиолокационного оборудования // Инженерно-строительный журнал. 2013. №5(40). С. 52-58. Изгиб, кручение и асимптотический анализ пространственной стержневой консоли // Инженерно-строительный журнал. 2014. № 5 (49). С. 37-43. Расчет пространственной стержневой системы, допускающей мгновенную изменяемость // Строительная механика и расчет сооружений. 2012. № 3. С. 48–51. Voropai R. A., Kirsanov M. N. On the deformation of spatial cantilever trusses under the action of lateral loads // Science Almanac. 2016. No. 9–2(23). С.17–20. DOI: 10.17117/na.2016.09.02.017 Аналитическая зависимость прогиба пространственной консоли треугольного профиля от числа панелей//Научный альманах. 2016. №6–2 (19). С. 214–217. DOI: 10.17117/na.2016.06.02.214 Формулы для расчета деформаций пирамидального купола // Научный альманах. 2016. № 11-2(25). С. 315–318. DOI: 10.17117/na.2016.11.02.315 Tinkov D. V., Safonov A. A. Design Optimization of Truss Bridge Structures of Composite Materials // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2017. Vol. 46, No. 1, Pp. 46–52. DOI: 10.3103/S1052618817010149 Вывод формулы для прогиба внешне статически неопределимой плоской фермы под действием нагрузки в середине пролета// Строительство и архитектура. 2017. Т. 5. № 2. С. 50-54. , Исследование деформаций плоской внешне статически неопределимой фермы // Вестник МГСУ. 2017. Т. 12. Вып. 8 (107). С. 869-875. DOI: 10.22227/1997-0935.2017.8.869-875 Анализ прогиба арочной фермы // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2017. – № 5. – С. 50-55 Анализ усилий и деформаций в корабельном шпангоуте моделируемого фермой // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала . — 2017. — Т. 9. — № 3. — С. 560–569. DOI: 10.21821/2309-5180-2017-9-3-560-569 Kirsanov M. N., Zaborskaya N. V. Deformations of the periodic truss with diagonal lattice // Magazine of Civil Engineering. 2017. No. 3. Pp. 61–67. doi: 10.18720/MCE.71.7.). Belyankin N. A., Boyko A. Y. Analysis of the deflection of the flat statically determinate girder // Sciense Almanac. 2017. N 2-3(28). С. 246-249. https://elibrary. ru/download/elibrary_28913792_32626016.pdf Maple и Maplet. Решения задач механики. СПб.: Изд-во Лань, 2012. ‑ 512 с.REFERENCES
Hutchinson R. G., Fleck N. A. Microarchitectured cellular solids – the Hunt for Statically Determinate Periodic Trusses. ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 2005, vol. 85, no. 9, pp. 607–617. Hutchinson R. G., Fleck N. A. The Structural Performance of the Periodic Truss. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2006, vol. 54, no. 4, pp. 756–782. Zok F. W., Latture R. M., Begley M. R. Periodic truss structures. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2016, vol. 96, pp. 184–203. https://doi. org/10.1016/j. jmps.2016.07.007 Kirsanov M. N. Stress State and Deformation of a Rectangular Spatial Rod Cover // Scientific Herald of the Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering. Construction and Architecture. 2016. Vol. 31. No. 3. Pp. 71–79. Kirsanov M. N. Analysis of the buckling of spatial truss with cross lattice // Magazine of Civil Engineering. 2016. No. 4. Pp. 52 – 58. DOI: 10.5862/MCE.64.5 Kirsanov M. N. Analiticheskoe issledovanie zhestkosti prostranstvennoj staticheski opredelimoj fermy [Analytical study on the rigidity of statically determinate spatial truss]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2017, no. 2, pp. 165–171. (In Russian) Kirsanov M. N., Andreevskay T. M. Analysis of the influence of elastic deformation of the mast on the positioning of antenna and radar equipment // Magazine of Civil Engineering. 2013. No. 5(40). Pp. 52-58 Kirsanov M. N. Bending, torsion and asymptotic analysis of spatial rod console // Magazine of Civil Engineering. 2014. No. 5 (49). P. 37-43. Kirsanov M. N. Calculation of a three-dimensional bar system permitting instantaneous variability // Construction mechanics and design of structures. 2012. № 3. P. 48-51. Voropai R. A., Kirsanov M. N. On the deformation of spatial cantilever trusses under the action of lateral loads // Science Almanac. 2016. No. 9–2(23). С.17–20. DOI: 10.17117/na.2016.09.02.017 Domanov E. V. Analiticheskaya zavisimost' progiba prostranstvennoj konsoli treugol'nogo profilya ot chisla panelej [The analytical dependence of the deflection spatial console triangular profile of the number of panels]. Nauchnyy al’manakh [Science Almanac]. 2016, no.2(19), pp. 214–217. DOI: 10.17117/na.2016.06.02.214 (In Russian) Ershov L. A. Formuly dlya rascheta deformacij piramidal'nogo kupola [The formula for calculating the deformations of a pyramidal dome] Nauchnyy al’manakh [Science Almanac]. 2016, no. 11–2(25), pp. 315–318. DOI: 10.17117/na.2016.11.02.315 (In Russian) Tinkov D. V., Safonov A. A. Design Optimization of Truss Bridge Structures of Composite Materials // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2017. Vol. 46, No. 1, Pp. 46–52. DOI: 10.3103/S1052618817010149 Astakhov S. V. Vyvod formuly dlya progiba vneshne staticheski neopredelimoj ploskoj fermy pod dejstviem nagruzki v seredine proleta [The derivation of formula for deflection of statically indeterminate externally flat truss under load at midspan] Stroitel'stvo i arhitektura [Construction and Architecture]. 2017. V. 5. no. 2. pp. 50-54. DOI: 10.12737/article_596f6d7da0eb38.03494133 (In Russian) Kirsanov M. N., Suvorov A. P. Investigation of deformations of a planarly externally statically indeterminate truss // Vestnik MGSU. T. 12. Vol. 8 (107). Pp. 869-875. DOI: 10.22227 / 1997-0935.2017.8.869-875 Kirsanov M. N. Analysis of arch deflection // Construction mechanics of engineering structures and structures. 2017. - No. 5. - P. 50-55 Kirsanov MN Analysis of the forces and deformations in the ship frame modeled by the truss // Vestnik of the State University of Marine and River Fleet named after Admiral SO Makarov. - 2017. - T. 9. - No. 3. - P. 560-569. DOI: 10.21821 / 2309-5180-2017-9-3-560-569 Kirsanov M. N., Zaborskaya N. V. Deformations of the periodic truss with diagonal lattice // Magazine of Civil Engineering. 2017. No. 3. Pp. 61–67. doi: 10.18720/MCE.71.7.. Belyankin N. A., Boyko A. Y. Analysis of the deflection of the flat statically determinate girder // Sciense Almanac. 2017. N 2-3(28). С. 246-249. https://elibrary. ru/download/elibrary_28913792_32626016.pdf Kirsanov M. N. Maple and Maplet. Solutions of mechanics problems. SP.: Publishing house LAN, 2012. 512 p.