Доказать: не существует многогранника имеющего 7 ребер.
Решение. Если в многограннике хотя бы одна грань – четырёхугольник, то в нём уже не меньше 8 рёбер:
Поэтому будем искать многогранник с треугольными гранями, чтобы у него было 7 рёбер. Пусть число граней х. Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения: хГ=2Р=уВ, где Г - грань, Р - ребро, В – вершина, получаем, что ребер будет 3х/2, 7=3х/2 или х=14/3. Получилось дробное число граней, что показывает невозможность многогранника с семью ребрами.
Дано: треугольник ABC, стороны a, b, c, угол A=60⁰Доказать: 
Решение.
Преобразуем выражение:
Итак, доказываемое равенство равносильно следующему:
a2=b2+c2-bc.
Это же соотношение получается, если применим теорему косинусов для угла в 60o :
cos A= cos 60o=1/2, a2=b2+c2-2bc cos A.
Дано: шестизначное число, первая цифра – 1, если первую цифру переставить в конец числа, оставив остальные без изменения, то число окажется втрое больше исходного числа
Найти: исходное число
Решение. Чтобы получить в числе последнюю цифру единицу, нужно, чтобы в произведении 3 с какой-то цифрой произведение оканчивалось на 1. Этому условию подходит только цифра 7 (3*7=21). Значит шестая цифра исходного числа -7. Мы теперь знаем, что новое число оканчивается на 71. Так как, умножив 7 на 3, мы получили 21, значит 2 в уме остается, следовательно, умножая на 3 пятую цифру исходного числа и прибавляя к полученному числу 2, мы должны получить 7. Получается, что полученное число должно оканчиваться на 7-2=5. Только, умножая 3 на 5, мы получим число, оканчивающееся на 5 (3*5=15). Следовательно, пятая цифра исходного числа – 5. Так как (57*3=171), 1 остается в уме, следовательно, умножая на 3 четвёртую цифру исходного числа и прибавляя к полученному числу 1, мы должны получить 5. Получается, что полученное число должно оканчиваться на 5-1=4. Умножая 3 на 8, мы получим число, оканчивающееся на 4 (3*8=24). Следовательно, четвёртая цифра исходного числа – 8. Так как (857*3=2571), 2 остается в уме, следовательно, умножая на 3 третью цифру исходного числа и прибавляя к полученному числу 2, мы должны получить 8. Получается, что полученное число должно оканчиваться на 8-2=6. Умножая 3 на 2, мы получим число, оканчивающееся на 6 (3*2=6). Следовательно, четвёртая цифра третья числа – 2. Так как (2857*3=8571), следовательно, умножая на 3 первую и вторую цифры исходного числа, мы должны получить в произведении число, начинающееся со второй цифры исходного числа и 2. Получается, что вторая цифра - 4, так как 14*3=42.
Ответ: исходное число – 142857
ОДЗ: R
Так как нам не дан определенный промежуток значений в задании, где мы бы могли поставить значения производной, а область допустимых значений включает все значения, то унаим. и унаиб. не существует.
Ответ: унаим. и унаиб. не существует
6. Дано: 17, 21, 25, 29…- арифметическая прогрессия
16, 21,26, 31… - арифметическая прогрессия
Найти: сумму первых ста одинаковых членов этих прогрессий
Решение. Из данных прогрессий замечаем, что 21 – первое одинаковое число. Продолжим эти прогрессии:
17, 21, 25, 29, 33, 37, 41…
16, 21, 26, 31, 36, 41…
Замечаем, что второе одинаковое число этих прогрессий – 41.
а₁=21, а₂=41, d= а₂- а₁; d=41-21=20;
S100= (2*21+20(100-1))/2*100=(41+20*99)*50=(41+1980)*50=2021*50=101050
Ответ: 101050
7. (1-4sin10⁰sin70⁰)/(2sin10⁰)=
= (1-4*1/2*(cos(10⁰-70⁰)-cos(10⁰+70⁰)))/2sin10⁰=
= (1-2cos(-60⁰)+2cos80⁰)/2sin10⁰=
=(1-2*1/2+2cos80⁰)/2sin10⁰=2cos80⁰/2sin10⁰=
=cos80⁰/sin10⁰=cos(90⁰-10⁰)/sin10⁰=sin10⁰/sin10⁰=1.
Ответ:1
8. Число, состоящее только из нечётных цифр и большее 9, не может быть квадратом натурального числа, оно обязательно будет содержать либо чётную цифру, либо 0(не считается ни чётным, ни нечётным). Также квадрат нечётного натурального числа при делении на 4 даёт остаток, равный только единице, а этому условию, предполагая, что число состоит из нечётных цифр, соответствует только 9, что противоречит нашим условиям. Ответ: не может
9. Так как в колоде 4 туза, а остальные 32 карты не являются тузами, то
колоду карт можно разделить 
или (4!/(2!2!) * 32!/(16!16!)) /2= (6*17*18*19*...*32/(1*2*3*4*...*16))/2=3606482340/2=1803241170
Ответ: 1803241170 способами
10. Дано: (х+√х2+1)*(у+√у2+1)=1
Доказать: х+у=0
Решение.
Произведение 1 можно получить, только умножая 1 на 1 или (-1) на (-1).
Рассмотрим систему уравнений:
х+√х2+1=1,
у+√у2+1=1;
х+√х2+1=1
х+|x|=0
Если х≥0, то х+х=0
2х=0
х=0
Если х<0, то х-х=0
0=0
Решая, уравнение у+√у2+1=1, также как и х+√х2+1=1,
получим у=0
х+у=0+0=0 - удовлетворяет нашим условиям, что у+х=0
Решим систему уравнений:
х+√х2+1=-1,
у+√у2+1=-1;
х+√х2+1=-1
х+|x|=-2
Если х≥0, то х+х=-2
2х=-2
х=-1
Если х<0, то х-х=-2
0=-2- не верно
Решая, уравнение у+√у2+1=1, также как и х+√х2+1=1,
получим у=-1
х+у=-1+(-1)=-2 – не удовлетворяет нашим условиям, что у+х=0.
Но так как при х=0, у=0 , х+у=0, то мы доказали, что если (х+√х2+1)*(у+√у2+1)=1, то х+у=0
