Фракталы

Содержание

Введение………………………………………………………………….….стр. 2 Основное содержание………………………………………………………стр. 3 История появления…………………………………………..……....................стр. 3 Понятие фрактала………………………………………………………..…...стр. 3-4 Геометрические фракталы……………………………………………………стр. 4-5 Виды геометрических фракталов…………………………..……...………...стр.5-6 Стохастические фракталы………………………………………………..……стр. 6 Применение фракталов…………………………………………….………...стр. 6-7 Фрактальная графика…………………………………………………………...стр. 7 Заключение………………………………………………………………….стр. 8 Список литературы………………………………….………………………стр.9 Приложение……………………………………………………………..стр.10-13

Введение

Математика, если на нее правильно посмотреть,

отражает не только истину, но и несравненную красоту.

Бертран Рассел.

Сегодня вряд ли можно найти человека, занимающегося или интересующегося наукой, который не слышал бы о фракталах. При упоминании о них живо представляешь себе великолепные, граничащие с произведениями искусства, изображения фрактальных множеств, напоминающие то дерево или кустарник, то сетку трещин на асфальте или морозные узоры на окне, то острова в океане или облака на небе, то вообще что-то такое, чему трудно подобрать сравнение. Глядя на них трудно поверить, что это не творения природы и за ними скрываются математические формулы. Фракталы поразительно напоминают объекты живой и неживой природы вокруг нас. Словом они "как настоящие". Скорее всего, именно поэтому, однажды увидев, человек уже не может их забыть.

Многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Очень трудно представить себе структуру систем жизнеобеспечения биологической особи (кровообращение, ЦНС), тонкую структуру белков и т. д.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Интерес к исследованию процессов, обуславливающих фрактальную геометрию природы, привел к рождению новых научных направлений в физике (фрактальная физика), биологии, материаловедении и т. д. Такое объединение различных научных направлений на основе единого структурного подхода не случайно, а является следствием универсальных свойств фрактальных структур.

Цель работы: рассмотреть удивительный мир фракталов

Задачи: 1. Познакомиться с понятием фракталы, изучить их историю появления, а также их основные виды.

2. Разобрать области применения фракталов

3. Построить самостоятельно фракталы

4. Создать фрактальную арт-терапию

Основное содержание История появления

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой повторяющейся процедуры превратил линию в набор несвязанных точек. Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии. Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

Кривая Пеано

На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов.

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт – отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии [8].

Понятие фрактала

Что же такое фрактал. Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала – это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно) [3].

Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б. Мандельброта “The Fractal Geometry of Nature” (“Фрактальная геометрия природы”) ставший классическим – “Какова длина берега Британии?” [1]. Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра – мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно – длина берега Британии бесконечна.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это: - геометрические фракталы; - алгебраические фракталы; - cтохастические фракталы. Рассмотрим некоторые из них.

Геометрические фракталы

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется “затравка” – аксиома – набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой “затравке” применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований – получим геометрический фрактал.

Рассмотренная выше кривая Пеано является геометрическим фракталом. На рисунке ниже приведены другие примеры геометрических фракталов (слева направо Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).

Снежинка Коха Треугольник Серпинского Лист папоротника

Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый – снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций – получим фрактал – снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.

Виды геометрических фракталов.

Кривая Коха.

Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом [9].

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

Кривая Леви.

Кривая Леви — фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата вида /\, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви [9].

Дерево Пифагора

Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево[8].

Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов. Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево Пифагора. Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо образом выбранные «центры» треугольников, то получается обнаженное дерево Пифагора.

Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т. д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Типичный представитель данного класса фракталов - плазма.

Плазма Плазма 3d

Применение фракталов. Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.

Физика и другие естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов) [3].

Анализ рынков

Последнее время фракталы стали популярным инструментом у трейдеров для анализа состояния биржевых рынков.

Литература

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:

венок

авторство

5. Радиотехника

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И, хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Фрактальная графика.

Последней из рассматриваемых видов компьютерной графики - это фрактальная графика. Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся перспективных видов компьютерной графики [6].

Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать такие композиционные приёмы как, горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию и др.

Примеры фракталов, построенные с помощью программы Apophysis.

Зеленый звон

Заключение

Помимо той полезной роли, которую играет фрактальная геометрия при описании сложности природных объектов, она предлагает ещё хорошую возможность популяризации математических знаний. Понятия фрактальной геометрии наглядны и интуитивны. Её формы привлекательны с эстетической точки зрения и имеют разнообразные приложения. Поэтому фрактальная геометрия, возможно, поможет опровергнуть взгляд на математику как на сухую и недоступную дисциплину и станет дополнительным стимулом в освоении этой интересной и увлекательной науки.

Математики будут удивлены и обрадованы, узнав, что фрактальные множества, считавшиеся до сих пор чем-то исключительным... в некотором смысле должны стать правилом, что конструкции, считавшиеся патологическими, должны происходить естественным образом из очень конкретных задач и что изучение природы должно помочь решить старые задачи и поставить немало новых.

Выводы:

В ходе данной работы мы:

Ознакомились с понятием фракталы, изучили их историю появления, а также их основные виды. Разобрали области применения фракталов Построили самостоятельно фракталы

Список литературы , «Размер и размерность». «Потенциал», август 2006; Красота математических поверхностей. - М.: Куб, 2005; , Новейшая энциклопедия Интернет. - М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2003; рактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002; , Изд.: Художественная литература.1985; «В мире фрактальной графики». - СПб., Компьютер Price, 2005; Газета «Информатика», № 24, 2008; Интернет ресурс. URL адрес: http://elementy. ru Интернет ресурс. URL адрес: http://ru. wikipedia. org Интернет ресурс. URL адрес: http://www. Интернет ресурс. URL адрес: http://fractals. nsu. ru Интернет ресурс. URL адрес: http://fraktals. ucoz. ru Интернет ресурс. URL адрес: http://flash. xaoc. ru

Приложение

Мои работы

Построение треугольника Серпинского