Содержание:

Введение……………………………………………………………………………………...3

Глава I. Теоретическая часть……………………………………………..............................4

Основы теории потенциала……………………………………………………………..4 Вспомогательные сведения из математического анализа……….....................4 Основные ортогональные координаты…………………………………….4 Основные дифференциальные операции векторного поля……………….4 Формулы из теории поля……………………………………………………5 Основные свойства гармонических функций……………………………...6 Потенциал объемных масс или зарядов……………………………………......7 Ньютонов (кулонов) потенциал………………………………………….....7 Свойства ньютонова потенциала…………………………………………...7 Потенциал однородного шара………………………………………………8 Свойства потенциала объемно-распределенных масс………………….....8 Логарифмические потенциалы…………………………………………………9 Определение логарифмического потенциала……………………………..9 Свойства логарифмического потенциала………………………………....10 Логарифмический потенциал круга с постоянной плотностью…………11 Потенциал простого слоя……………………………………………………....12 Определение  потенциала простого слоя в пространстве……………….12 Свойства потенциала простого слоя……………………………………...12 Потенциал однородной сферы………………………………………….....13 Потенциал простого слоя на плоскости……………………………….…13 Потенциал двойного слоя……………………………………………………..14 Потенциал диполя…………………………………………………………14 Потенциал двойного слоя в пространстве и его свойства........................15 Логарифмический потенциал двойного слоя и его свойства……………17 Тепловые потенциалы……………………………………………………….....19 Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя…………….19 Скачки потенциалов…………………………………………………………....22 Вычисление потенциалов………………………………………………………22 Применение теории потенциала в классических задачах математической физики..26 Решение краевых задач при помощи тепловых потенциалов….....................26

Глава II. Практическая часть………………………………………………………………..…28

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

  Список используемой литературы………………………………………………………...33

Введение

Впервые понятие ньютоновского потенциала было введено в конце ЧVЙЙЙ века П. Лапласом и Ж. Лагранжем, а затем для задач гидродинамики Л. Эйлером. Рассмотрение понятия потенциала как функции, градиент которой равен векторному полю, принадлежит Гауссу. Свойства потенциала простого слоя впервые исследовались Кулоном и С. Пуассоном, большой вклад в развитие теории потенциала был сделан Грином. В настоящее время теория потенциала – активно развиваемый метод исследования и решения задач в разных областях математической физики.

Пусть дано векторное поле , где - координаты вектора , приложенного в точке (x, y,z), - направление орты ортогональной системы координат; пусть - скалярная функция (скалярное поле). Потенциалом векторного поля называется скалярное поле , градиент которого равен : . Поэтому знание потенциальной функции (потенциала) позволяет рассчитать действующие силы. Во многих задачах электромагнетизма, гидродинамики и акустики, теплопроводности и диффузии возникают краевые задачи для эллиптических уравнений, простейшими и важными представителями которых являются уравнения Лапласа и Пуассона .

Ключевую роль в методах теории потенциала играют фундаментальные решения уравнения Лапласа, равные в трехмерном и в двумерных случаях.

На основании этих решений строятся потенциалы, которые представляются в виде интеграла от произведения некоторой функции (плотности потенциала) и фундаментального решения (или его производной). В зависимости от области интегрирования и использования фундаментального решения или его нормальной производной различают объемные потенциалы, потенциалы двойного и простого слоя. Если искать потенциал (решение соответствующего эллиптического уравнения) в виде интеграла от плотности, то относительно неизвестной плотности возникает интегральное уравнение, а поскольку решение можно искать в виде разных потенциалов, то стараются подобрать такой потенциал, чтобы возникающее интегральное уравнение было наиболее простым. Так, для получения уравнения Фредгольма 2-го рода задачу Дирихле решают с помощью потенциала двойного слоя, а Неймана – потенциала простого слоя. Ниже рассмотрены потенциалы для уравнений Лапласа, Гельмгольца, волнового, теплопроводности – основных уравнений математической физики, возникающих в различных прикладных задачах.

Часть II. Практическая часть.

В этой части курсовой работы мы найдем потенциал равномерно заряженного круга на плоскости.

Решение данной задачи сводится к рассмотрению двух случаев:

1) *

2) *

Рассмотрим случай 2). В случае когда , заряженный круг можно рассматривать как

…………………………………….

Теперь реализуем эту задачу численно.

……………………………..

Тестовый пример:

1)

Список используемой литературы:

Лекции об уравнениях математической физики – М.: 2003. , Уравнения математической физики – М.: 2000 Методы решения задач математической физики : учеб. пособие / , и др.; издательство: физматлит, 2002. , , Приближенные методы математической физики. – М.: 2004. , Уравнения математической физики. М. Наука. 1981.