Квадратичная фермионная динамика с диссипацией
Аспирант
Московский государственный университет им. ,
физический факультет, Москва, Россия
E-mail: *****@***ru
В работах [3], [6] нами были получены гауссовские решения уравнения Линдблада с генератором квадратичным по бозонным операторам рождения-уничтожения. Естественно поставить аналогичную задачу для случая фермионов, чему и посвящен данный доклад.
Будет показано, что если ограничиться случаем квадратичного генератора без линейных членов по операторам рождения-уничтожения, то общий вид уравнения Линдблада с таким генератором:
, (1)
где 
– вектор, состоящий из операторов рождения и уничтожения, действующих в 
-мерном линейном пространстве над полем комплексных чисел, a 
и 
– комплексные (не зависящие от времени) 
-матрицы, удовлетворяющие соотношениям 
, 
, 
. Операция ~ над произвольной 
-матрицей определяется по формуле 
, где 
– блочная 
-матрица с нулевыми 
-матрицами на диагонали и единичными на антидиагонали. Канонические антикоммутационные соотношения (КАС) в таких обозначениях имеют вид:
Мы будем задавать гауссовское начальные условия в виде
(2)
где 
и 
, причём 
. Можно показать, что матрица 
может быть двудигонализована преобразованием 
, ортогональным в подходящем базисе:
, 
,
что соответствует преобразованию 
, сохраняющему КАС, которое позволяет явно вычислить нормировочный фактор:
(3)
Таким образом, (1) и (2) задают задачу Коши, решение которой является основным результатом, представляемым в докладе. Этот результат может быть сформулирован в виде следующего утверждения:
Решение уравнения (1) с начальным условием (2) имеет вид 
, где матрица 
определяется (однозначно) из уравнения 
, где 
удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
(4)
а эволюция нормировочного коэффициента определяется формулой
. (5)
Отметим, что формула (5) согласована с формулой (3).
Случай без диссипации подробно исследован в [1]. Диссипативный случай был рассмотрен в [5] и [4]. В [5] супероператор Линдблада, квадратичный по 
-фермионными операторам рождения и уничтожения, сводится к неэрмитову оператору, квадратичному по 
-фермионными операторам рождения и уничтожения. Далее в [5] требовалась диагонализуемость получившейся формы, чего не требуется в нашем подходе. В работе [4] получена динамика в представлении Гейзенберга операторов, коммутирующих с оператором чётности. Однако, изложенный в [4] подход, на наш взгляд, является весьма громоздким, так как требует расширения диссипативной динамики системы до унитарной динамики системы и резервуара, а затем взятия частичных следов по степеням свободы резервуара. В нашем случае задача свелась к решению уравнения (4), в которое параметры исходного уравнения (1) входят явно, что значительно упрощает анализ полученных решений.
Кроме того, в докладе показано, что переход от экспоненциального вида 
к нормальной форме 
может быть осуществлён по формулам
, где 
, и 
(6)
Таким образом, явно вычислена квадратичная вполне положительная динамика гауссовских состояний вида (2) в терминах чисто алгебраических операций с матрицами, размеры которых линейны по 
. В то время как исходное уравнение (1) поставлено для матриц, зависящих от 
степенным образом. Кроме того, формулы (6) позволяют пересчитать полученные решения в терминах нормальных символов.
Литература
Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1986 Квантовые системы, каналы, информация. М.: МЦМО, 2010 Теретëнков диссипативная эволюция гауссовских состояний, Матем. заметки, 100:4 (2016), 636–640 Clark S. R., Prior J., Hartmann M. J., Jaksch D., Plenio M. B. Exact matrix product solutions in the Heisenberg picture of an open quantum spin chain, New J. Phys. 12, 025005 (2010) Prosen T., Zunkovic B. Exact solution of Markovian master equations for quadratic Fermi systems: thermal baths, open XY spin chains and non-equilibrium phase transition, New J. Phys. 12, 025016 (2010). Teretenkov A. E. Quadratic Dissipative Evolution of Gaussian States with Drift, Math. Notes, 101:2 (2017), 341–351