Что важно знать, решая задачи на проценты?

Что важно знать, решая задачи на проценты?

1% - это сотая часть числа.

1% = 0,01.

Правило 1. Для того чтобы записать проценты десятичной дробью, нужно число, которое стоит перед знаком %, разделить на 100.

Например: 1) 15% = 15 : 100 = 0,15; 2) 300% = 300 : 100 = 3;  3) 1,3% = 1,3 : 100 = 0,013

Правило 2. Для того чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%.

Например: 1) 0,17=0,17∙100%=17%;  2) 7,9=7,9∙100%=790%;  3) 0,006=0,006∙100%=0,6% .

Правило 3. За 100% принимается та величина, с которой мы сравниваем.

Основные типы задач на проценты.

Нахождение процента p% от числа b.

Если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством.

Чтобы найти проценты от числа, можно проценты представить в виде десятичной дроби и число умножить на полученную десятичную дробь.

Задача-образец.

Предприятие изготовило за квартал 300 велосипедов, из которых 70 % имели высшую категорию качества. Сколько велосипедов высшей категории качества изготовило предприятие?

Решение. Найдём 70 % от 300 (общее количество велосипедов).

70 % = 0,70 = 0,7

300 • 0,7 = 210 (велосипедов) – высшей категории качества.

Ответ: 210.

Нахождение числа a по данному проценту p%.

Если p% какого-нибудь числа a равно b, то эти числа связаны равенством .

Чтобы найти число по его процентам, можно проценты представить в виде десятичной дроби и данное число разделить на полученную десятичную дробь.

Так как задачи «процент по числу» и «число по его проценту» очень похожи и часто не сразу понятно какой тип задачи перед нами, старайтесь внимательно читать текст. Если вам встречаются слова «который», «что составляет» и «который составляет», скорее всего перед вами задача «число по его проценту».

Задача-образец.

Андрей прочитал 85 страниц, что составляет 17 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение. Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую прочитал Андрей (85 страниц) составляет 17 % от общего количества страниц в книге.

– в книге.

Проверка: 500 >85 (это означает, что 85 является частью 500).

Ответ: 500.

Нахождение процентного отношения чисел a и b

Число a составляет от числа b.

Чтобы найти сколько процентов одно число составляет от другого можно одно число разделить на другое и полученное произведение умножить на 100%.

Задача-образец.

Из 200 арбузов 14 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелые арбузы?

Решение. О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 14 делим на общее количество арбузов, то есть на 200 и умножаем на 100 %.

Ответ:7.

Увеличение на p%.

Если число a увеличено на p%, то оно увеличено в раз, то получится число.

Задача-образец.

Клиент взял на год в Промсвязьбанке100 000 рублей под 17,9% годовых. Какова будет общая сумма долга?

Решение. .

Значит, общая сумма долга составит – 117 900 рублей.

Ответ: 117 900.

Уменьшение на q%.

Если число a уменьшено на q%, где , то оно уменьшено в раз, то получится число.

Задача-образец:

Пылесос стоил 4500 рублей. В условиях акции его цена понизилась на 8%. Какова новая цена пылесоса?

Решение.

1 способ.

2 способ. 4500 р. – 100% х р. – 8% х = = 360 (р) – понижение цены. 4500 - 360 = 4140 (р) – новая цена пылесоса.

Ответ: 4140.

Вывод: – формула, с помощью которой решаются задачи на изменение процентов, где S0 — начальное значение, Sn — конечное, p — процент изменения, который участвует в формуле с плюсом, когда величина растёт (например, подорожание товара), либо с минусом, когда величина уменьшается (например, скидка на товар).

Начисление простых процентов.

При многократном изменении простых процентов начисление делается по отношению к исходной величине и представляет собой каждый раз одну и ту же величину: , где S0 - исходная величина, Sn – конечная величина, p% - процент изменения, n - число периодов.

Задача-образец:

Банк «Триумф» выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 000 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

Решение. Для решения задачи достаточно подставить в формулу величину процентной ставки p = 2, числа месяцев n = 6  и первоначального вклада S = 500:

Значит, через полгода на вкладе будет 224000 рублей.

Ответ: 224000.

Начисление сложных процентов.

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами:

Если изменение происходит на разное число процентов , то формула выглядит так:  , где S0 - исходная величина, Sn – конечная величина. Если в конце каждого этапа времени начисляется одно и то же постоянное количество процентов, p%, то формула выглядит так:  , где S0 - исходная величина, Sn – конечная величина, n - число периодов.

Задача-образец:

Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 3 года, если банк начисляет 7% годовых и внесённая сумма равна 100 000 рублей?

Решение. Подставим в формулу значения процентной ставки  p = 10, количество лет  n = 4 и величину первоначального вклада  S  = 2000, получим:

Значит, через 3 года на счёте будет сумма 122504,3 руб.

Ответ: 122504,3.

Задача-образец:

Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 131250 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?

Решение.

1 способ. Решим с помощью пропорции: 131250 руб. – 125% y руб. – 100% Откуда y = 105000. 105000 руб. – 125% z руб. – 100% Откуда z =84000.

2 способ. Пусть х – первоначальный вклад.  Можно решить задачу, используя формулу для сложных процентов 131250 = х · (1+ 0,25)2 , х = 84000.

Ответ: 84000.

Задача-образец из Проекта Демонстрационного варианта контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2016 года по математике. Профильный уровень.