Тема: Уравнения и системы уравнений. Уравнения в целых числах

Тема: Уравнения и системы уравнений. Уравнения в целых числах

Задача 1. Решите в целых числах уравнение:

x2 – y2 = 31.

Задача 2. Решите в целых числах уравнение:

x2 + y2 = 9x + 1.

Задача 3. Решите в цифрах уравнение:

.

Задача 4. При каких натуральных значениях x и y справедливо следующее:

.

Задача 5. Найдите все натуральные значения n, для которых существует набор положительных чисел x1, …, xn, удовлетворяющих системе уравнений

Задача 6. Решите в натуральных числах уравнение:

Задача 7. Определите цифры x, y, z, если известно, что равенство

имеет место по крайней мере для двух различных значений натурального числа n. Найдите все значения n, для которых это равенство остаётся справедливым.

Задача 8. Решите в целых числах следующее уравнение:

.

Задача 9. Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что px = y3 + 1.

Задача 10. Докажите, что уравнение

имеет решение в целых числах (x, y) для бесконечного числа простых p.

Задача 11. Найдите действительные решения уравнения

,

где р – положительное действительное число.

Задача 12. Решите в целых числах уравнение:

xy + 3x – 5y = –3.

Задача 13. Решите в целых числах уравнение:

.

Задача 14. Докажите, что для любого простого p > 5 уравнение

в целых числах не имеет решений.

Задача 15. Докажите, что уравнение

в натуральных числах имеет конечное множество решений.

Задача 16. Докажите, что уравнение x2 – 2y2 = 1 имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Задача 17. Докажите, что уравнение

m2 + n2 + p2 = 3mnp

имеет бесконечное множество решений в натуральных числах.

Задача 18. Докажите, что если a, b, c – пифагорова тройка, то одно из этих чисел делится на 3, другое (или то же самое) – на 4, а третье – на 5.