КСФ, 2015, Регистрационный номер 5139
УДК 535.4
89151892075 89161735548 89163684736
*****@***ru *****@***lebedev. ru *****@***ru
, ,
2D Моделирование когерентных изображений наклонных объектов
2D Simulation of coherent images of tilted objects
Аннотация
Предложен простой вывод преобразования полей в оптической системе для прямых и наклонных объектов. Он использован для создания алгоритма и программ численного определения пространственного разрешения оптических систем. Предполагается применение разрабатываемых методов для отражательной рентгеновской микроскопии.
1. Введение
По мере развития когерентных источников рентгеновского излучения (генераторы гармоник ИК-лазеров [1], лабораторные рентгеновские лазеры [2], источники СИ 3-его поколения [3], лазеры на свободных электронах [4]) всё ‘большую актуальность и распространение приобретают методы исследования материалов и поверхностных структур под малыми углами скольжения. При этом речь идёт не только об измерении коэффициентов отражения и рассеяния (рефлектометрии) при малых углах скольжения, но и о получении изображений (микроскопии) [5-8]. В этом случае информация о предмете переносится пучком, распространяющимся под углом к его поверхности, который, как правило, не превосходит критический угол полного внешнего отражения. Весьма похожие условия эксперимента выбираются при измерении распределения заряда в сгустках электронных ускорителей по их переходному излучению [9,10], поскольку его интенсивность пропорциональна отражательной способности мишени [11].
В обоих приведённых примерах возникает естественный вопрос о выборе подходящих оптических схем, переносящих в когерентных пучках изображение наклонного объекта на детектор. Очевидно, что из-за малых углов скольжения обычные схемы, когда объект рассматривается нормально к поверхности (на просвет или в отражении) и оптическая ось перпендикулярна ей, могут оказаться непригодны.
В настоящей работе этот вопрос исследуется на качественном уровне, с последующим применением численных расчетов. Используется 2D-геометрия, параксиальная оптика и идеальные оптические элементы. Такая идеализация задачи даёт возможность найти явные соотношения, которые указывают положение оптических элементов и детектора, позволяющие с той или иной точностью добиться подобия изображения и предмета. Результат может быть проверен и скорректирован методами вычислительной оптики, а также распространён на реальные оптические элементы с учётом апертуры, аберраций и пр.
Рис. 1 Оптическая схема
s, s’ – плоскости объекта и его изображения, линза расположена в плоскости x;
a, b – оптически сопряженные точки.
Поясним вначале метод, применяя его к теории оптических преобразований [12,13]. В частности рассмотрим преобразование, связывающее поле предмета и поле его изображения линзой. Оно основано на интеграле Френеля (см. рис. 1, при и = р/2) для поля u(x, z):
(1)
создаваемого когерентным параксиальным пучком, распространяющимся перпендикулярно поверхности объекта (вдоль оси z); где u0(s) – поле на поверхности объекта. Поле объекта u0(s) в виде пространственной гармоники eiqs создаёт согласно (1) между объектом и линзой поле:
, для 
и и = р/2. (2)
Идеальная линза действует, как фазовый множитель exp(-iks2/2f), так что на правой её стороне поле имеет вид:
, (3)
где f - фокусное расстояние. Поле справа от линзы находим, применяя к (3) интеграл Френеля (1):
, (4)
где z отсчитывается от поверхности линзы, в то время как в (2) - от предмета.
Выражение (4) показывает, что поле за линзой содержит член, зависящий от q, и фазовый множитель, который подобно полю 
в предметной плоскости (см.(2)) является фурье-гармоникой, если в (4) выбрать z=b из условия (см. рис. 1):
, (5)
которое и является формулой линзы. В этом случае поле (4) на детекторе (т. е. при z = b) принимает вид:
, (6)
где M = b/a – коэффициент увеличения. Поскольку оба выражения: u(x) в (6) и u0(s) в (2) являются гармониками, то распределения |u(x)|2 на детекторе и |u0(s)|2 на предмете подобны при любой форме u0(s). Таким образом, мы получили хорошо известное свойство идеальной линзы [12].
В следующем разделе мы применим аналогичный метод для описания изображения наклонного объекта.
2. Изображение наклонного объекта
Возьмём поле на предмете снова в форме гармоники (2). В этом случае и ≠ р/2 и интеграл Френеля не определён. Однако в параксиальной оптике, если пучок распространяется вдоль z, можно воспользоваться параболическим уравнением:
(7)
с граничным условием, заданным на наклонном объекте [14]. Легко убедиться [15] , что при и ≠ р/2 решение вместо (2) имеет вид:
. (8)
Величина 
определяется уравнением
, 
(9)
следующим из граничного условия на наклонной плоскости 
Далее действуем по аналогии со случаем и = р/2, изложенным во введении. На правой поверхности линзы вместо (3) получаем:
. (10)
Поскольку поле (10) вновь задано на поверхности перпендикулярной направлению распространения волны, то можно использовать интеграл Френеля (1), что в пространстве за линзой даёт:
. (11)
В отличие от (4) зависимость показателя от q оказывается теперь не билинейной, а более сложной. Поэтому о подобии можно говорить лишь приближённо (то есть до деталей не меньше определённого масштаба), раскладывая 
в ряд:
(12)
Ограничиваясь в разложении показателя поля(11) членом 
и приравнивая его нулю, получаем:
, где 
. (13)
Таким образом, подобия следует ожидать при расположении детектора на прямой (13). Она показана лучом s` на рис. 1. Легко убедиться, что эта прямая является изображением «поверхности» предмета в линзе. Этот результат другим способом был получен в [16]. Поле на детекторе в соответствии с (11)– (13) равно:
, (14)
где x и z связаны соотношением (13). Отсюда видно, что первое слагаемое в показателе экспоненты вклада в интенсивность не даёт, и увеличение равно:
, (15)
что соответствует геометрико-оптическому изображению.
Формулы (13), (15) показывают, что при работе с увеличением M2(и) > 1 детектор должен быть наклонён к оптической оси больше, чем предмет. Это, очевидно, может быть серьёзным препятствием к получению изображений в экспериментах по когерентной отражающей микроскопии и переходному излучению в рентгеновском диапазоне.
3. Линза конечной апертуры. Примеры.
В предыдущем разделе связь между плоскостями наклонного объекта и его изображения (13), а также соотношение их полей (2) и (14) установлены эвристическим путем на примере идеальной линзы бесконечной апертуры NA. Для того чтобы представить каково может быть качество изображений наклонных объектов, передаваемых более реальной оптической системой, были выполнены расчеты в параксиальном приближении.
Наш подход к численным расчётам полей основан на интегральной формуле ТОИ (tilted object integral) [15, 16]:
(16)
для поля наклонного объекта. Как и интеграл Френеля, ТОИ является точным решением параболического волнового уравнения. При и=р/2 он переходит в интеграл Френеля. Поскольку, как правило, поле u0 (x) в плоскости объекта можно считать известным лишь в его границах, то формулу (16) следует применять при z<-s0cosи. При z=-s0cosи формула (16) определяет поле тени наклонного объекта в плоскости, проходящей через его правый край (смотри рис. 1). Оно служит исходным (начальным) распределением поля для моделирования дальнейшего распространения пучка в пространстве (включая оптическую систему) методом интеграла Френеля. Такой подход, анализировался в [17,18]. В частности было показано, что, как и следует ожидать, в плоскости оптически сопряжённой предмету появляется чёткое изображение.
В настоящей работе для численной оценки пространственного разрешения при отображении наклонного объекта ( см. рис. 1) было выбрано поле вида:
(17)
Величину d можно рассматривать, как масштаб объекта или его характерной детали. Расчёты проводились для увеличения 1:1 , то есть b=a=2f и М=1. Углы наклона менялись от 90° до 1°. На рис. 2-5 пунктиром представлена интенсивность поля |u0(s)|2 на объекте. Линза считалась идеально-тонкой, но с конечной апертурой NA=0.2. Для определения пространственного разрешения в когерентном пучке сравнивались изображения при различных отношениях периода объекта и длины волны: d/л. Распределения |u(s)|2, представленные на рисунках 2-5, позволяют легко определить пространственное разрешение оптической системы для любого угла наклона предмета к оптической оси.
В качестве критерия пространственного разрешения зададимся определённой «резкостью» изображения. Например, потребуем, чтобы отношение интенсивностей на приёмнике в провале и в максимуме не превышала величину:
. (18)
Рис.2-5 Численное определение пространственного разрешения по изображению тестового объекта (17) линзой с числовой апертурой NA=0.2. На рис.2 объект расположен вертикально (и=90°), Ф=0. Кривые1-5 соответствуют отношениям d/л=6; 4; 3,7; 3,5 и 3 соответственно. На рис. 3 тестовый объект расположен под углом и=45° к оси. Кривые 1-4 соответствуют следующим значениям d/л и параметра Ф (см(9)): (10; 0.28),(6; 0.47),(5; 0.57) и (4; 0.71) соответственно. На рис. 4 тестовый объект расположен под углом и=10° к оси. Кривые 1-5 соответствуют следующим значениям d/л и параметра Ф (см(9)): (70; 0.93), (30; 2.2), (19; 3.4), (17; 3.8) и (15; 4.4) соответственно. На рис. 5 тестовый объект расположен под углом и=1° к оси. Кривые 1-5 соответствуют следующим значениям d/л и параметра Ф (см(9)): (500; 13), (100; 66), (70; 94), (60; 110) и (50; 130) соответственно.
Тогда из кривых рис. 2-5 находим разрешение d/л=3.7; 5.3; 19; 55 для углов наклона 90°; 45°; 10° и 1° соответственно. В таблице 1 эти величины
Таблица 1.
и | 90˚ | 45˚ | 10˚ | 1˚ |
д/�� | 3.7 | 5.3 | 19 | 55 |
д'/�� | 5.0 | 7.1 | 29 | 286 |
д/ д' | 0.74 | 0.75 | 0.66 | 0.19 |
сравниваются с интуитивной формулой, основанной на аналогии с интегралом Френеля:
(19)
Видно, что величина д/д` уменьшается более, чем втрое при изменении угла наклона от 90° до 1°. Почеркнём, что этот эффект обнаружен в численных расчётах полей методом TOI (см.(16)). Его нельзя объяснить, если даже предположить, что интеграл Френеля можно «приспособить» к наклонным объектам.
Заключение
Представлен наглядный вывод аналога формулы линзы для изображения наклонного объекта когерентным пучком. С помощью полученного ранее обобщения интеграла Френеля выполнены расчеты изображений тестового объекта при различных углах и его наклона к оптической оси, что позволило определить пространственное разрешение оптической системы с апертурой NA=0.2 при углах и=45˚, 10˚ и 1˚. Как показало численное моделирование, реальное разрешение при скользящих углах оказывается значительно лучше, чем можно было бы ожидать на основании модификации интеграла Френеля на случай наклонных объектов.
Развитый подход может быть использован в рентгеновской оптике для получения изображений объектов в отраженных пучках при углах скольжения вблизи критического угла полного внешнего отражения.
Список литературы
1. Popmintchev T, Chen M-C, Popmintchev D, Arpin P, Aliљauskas S, Andriukaitis G, Balciunas T, Pugzlys A, Baltuљka A, Shim B, Gaeta A, Murnane M M and Kapteyn H C, “Bright coherent ultrahigh harmonics in the keV X-Ray regime from mid-infrared femtosecond lasers”, Science 336, 1287-91 (2012)
2. Berrill M, Alessi S, Wang Y, Domingue S, Martz D, Luther B, Liu Y, and Rocca J: “Improved beam characteristics of solid-target soft x-ray laser amplifiers by injection-seeding with high harmonics”, Optics Letters 35, 2317 (2010)
3. Won Namkung, “REVIEW OF THIRD GENERATION LIGHT SOURCES”, Proc. IPAC 2014, pp. 2411-2415, May 23-38, 2010, Kyoto, Japan
4. Primoz Rebernik Ribic and G Margaritondo,“Status and prospects of x-ray free-electron lasers (X-FELs): a simple presentation”, J. Phys. D: Appl. Phys. 45, 213001 (2012)
5. Roy, S., Parks, D., Seu, K. A., Su, R., Turner, J. J., Chao, W., Anderson, E. H., Cabrini, S. and Kevan, S. D., Lensless X-ray imaging in reflection geometry, Nature Photonics 5, 243–245, 2011
n T, Jiang Z, Strzalka J, Ocola L & Wang, “Three-dimensional coherent X-ray surface scattering imaging near total external reflection”, J. Nature Photon 6, 586–590 (2012).
7.Gardner D F, Zhang B, Seaberg M D, Martin L S, Adams D E, Salmassi F, Gullikson E, Kapteyn H, and Murnane M, “High numerical aperture reflection mode coherent diffraction microscopy using off-axis apertured illumination.”, Optics express 20, 19050-9 (2012).
8. Michael Zьrch, Christian Kern and Christian Spielmann, “XUV coherent diffraction imaging in reflection geometry with low numerical aperture”, OPTICS EXPRESS Vol. 21, No. 18, 21131-21147, (2013)
khikh L G, Gogolev S Yu, Potylitsyn A P, “Backward transition radiation in EUV-region as a possible tool for beam diagnostics”, NIM A, 623, 567–569, (2010)
khikh L G, Bajt S, Kube G, Popov Yu A, Potylitsyn A P, Lauth W, Beam profile imaging based on backward transition radiation in the EUV region, in Proceedings IPAC 2012, pp. 819-821, New Orleans, Louisiana, (2012)
11. Strehl Peter, Beam Instrumentation and Diagnostics, Series: Particle Acceleration and Detection, Springer Berlin Heidelberg, 2006
12. Papoulis A, Systems and Transforms With Applications in Optics (Krieger Pub. Co., 1981; McGraw-Hill, 1968).
13. Гудмен Дж., Введение в Фурье-оптику, Москва, Мир, 1970
14. Artyukov I. A.; Popov A. V.;Vinogradov A. V.: 'Wave field transformation at coherent imaging of a flat reflection mask', Proc. SPIE, 7451, 745114-1 - 745114-3, 2009
15. Artyukov I A, Mitrofanov A N, Popov A V, Vinogradov A V: “Theory and computation towards coherent reflection imaging of tilted objects”, X-ray Lasers 2010: Proceedings of the 12th International Conference on X-ray Lasers (Springer-Verlag, Berlin & Heidelberg, 2010), pp. 329-340
16. I. A. Artyukov, R. M. Feshchenko, N. L. Popov, A. V. Vinogradov, “Coherent scattering from tilted objects”, Journal of Optics, 16 (3), 035703 (2014)
17. , , «О моделировании задач когерентной оптики скользящего падения «, Квантовая Электроника, 42, 140-142(2012)
18. I. A. Artyukov, A. S. Busarov, N. L. Popov, A. V. Vinogradov, “Optical Transforms Related to Coherent Imaging of Inclined Objects”, Proceedings of the 13th International Conference on X-Ray Lasers, 11–15 June 2012, Paris, France, Springer Proceedings in Physics, Volume 147, Pages 19-27, Editors: Stйphane Sebban, Julien Gautier, David Ros, Philippe Zeitoun, 2014
