Лекция 5 Комплексное интегрирование

ЛЕКЦИЯ 5

Комплексное интегрирование

Криволинейный интеграл. 

Рассмотрим  функцию    и кривую незамкнутую L, лежащую в её области определения.  Кривую разобьём на n частей точками, которые вместе с концами кривой последовательно обозначим , начиная с одного из концов. Для каждого   выберем произвольно точку на части кривой с концами .

Определение. Интегралом от функции f(z) по кривой L называется конечный предел интегральных сумм (если таковой существует):

где ,  δ=max.

Нужно найти условия на функцию и на кривую, при которых интеграл существует. Запишем в показательной форме:

Получены криволинейные интегралы II рода, для существования которых достаточно непрерывности функции f(z) и кусочной гладкости кривой. Вспомним, что эти интегралы зависят от направления движения по L.

Пример.   

L - отрезок прямой,

соединяющей точки

в направлении от к

Уравнение кривой L:    Отсюда   и

Свойства интеграла .

Зависимость от направления движения по кривой. Если   - кривая L, проходимая в противоположном направлении, то

Линейность. Для любых комплексных чисел ,   и интегрируемых по L функций и  

Аддитивность. Если f(z) интегрируема на  L = L 1∪ L 2, причем L 1∩ L 2  имеет нулевую длину, то

Оценка интеграла.

В правой части здесь – криволинейный интеграл I рода от положительной функции , так как - дифференциал длины дуги.

Следствие свойства 4. Если для некоторой положительной константы M в точках кривой верна оценка то

Замена комплексной переменной на действительную.  Если L задана уравнением z=z(t), , то при движении от α к β  .

Пример применения свойства 5. Вычислим интегралы от целых степеней выражения по окружности , обходимой в положительном направлении (против часовой стрелки).

       

;

  для всех других n, кроме  n = -1.

Интегрирование аналитических функций. 

Теорема Коши для односвязной области. Если аналитична в односвязной области D, то интеграл не зависит от пути в D и для любой замкнутой кусочно гладкой кривой L, лежащей в D, .

(Кружок на значке интеграла не обязателен.)

Не будем доказывать эту теорему, но, предположив дополнительно непрерывность производной , посмотрим, как связано условие аналитичности функции с условиями независимости от пути соответствующих криволинейных интегралов и    Условия  их независимости от пути, т. е. условия для интеграла , есть – условия Коши-Римана. Коши доказал теорему другим путём, но из неё непрерывность производной следует, так что условия (CR), т. е. аналитичность функции , являются необходимыми и достаточными условиями независимости интеграла от пути в односвязной области.

Будем называть контуром замкнутую кусочно гладкую кривую без самопересечений.

Теорема Коши для многосвязной области. Пусть D – область, граница которой состоит из контура и контуров расположенных внутри .

Пусть - аналитическая

в D и в точках границы.

Тогда

(направление обхода контуров - положительное).

Доказательство.

Соединим разрезами все контуры, превратив область в односвязную с границей, состоящей из заданных контуров и дополнительных разрезов. В силу односвязности новой области интеграл по её границе равен нулю. Выберем направление обхода, оставляющее область слева и применим свойство аддитивности интеграла, заменив его суммой интегралов по отдельным участкам границы. Так как дополнительные разрезы при этом проходятся дважды в противоположных направлениях, интегралы по ним взаимно уничтожатся. Получим:

,

откуда и следует утверждение теоремы.

Замечание. Теоремы Коши остаются верными и в случае, когда аналитична во внутренних точках области и непрерывна на объединении области с её границей.

Теорема о первообразной. Аналитическая в односвязной области D функция  имеет однозначную первообразную в D.

Доказательство. Покажем, что первообразной для

будет интеграл с переменным верхним пределом , где - произвольная точка области D.

[преобразуем числитель]=.

Во втором слагаемом под интегралом константа, вынесем её за знаки интеграла и предела.

Покажем, что первое слагаемое равно нулю. Выберем в качестве пути интегрирования отрезок прямой. Задавая сколь угодно малое ε>0, при малых в силу непрерывности функции будем иметь .  Тогда .

Итак, при первое слагаемое меньше любого , следовательно, оно равно нулю.

Неопределённый интеграл.  Для аналитической функции в односвязной области неопределённый интеграл – это совокупность всех её первообразных (отличающихся на константу):

.

Здесь - одна (любая) из первообразных.

Формула Лейбница. Для аналитической функции в односвязной области 

.

Таблица первообразных (однозначных  в односвязных областях аналитичности подынтегральных функций).

  n – целое

(для конкретной ветви корня).

Пример. Повторим рассмотренный пример с другим способом решения. Вычислим интегралы от целых степеней выражения по окружности , обходимой в положительном направлении (против часовой стрелки).

Разрежем окружность в произвольной точке и будем проходить полученную разомкнутую кривую против часовой стрелки от её начала a до её конца b.  Применим формулу Лейбница (разрезанную кривую можно погрузить в односвязную область, не содержащую точку ).

.

- функция однозначная, поэтому первое слагаемое равно нулю. Аргумент же числа при обходе кривой прирастает на 2π. Поэтому

В той же ситуации

так как степенная функция однозначна.

Заметим, что при вычислении вид кривой не использовался. Поэтому результаты такие же для любого замкнутого контура, содержащего внутри точку .