a)
Для вычисления применим способ внесения выражения под знак дифференциала:
б)
Для вычисления применим способ внесения выражения под знак дифференциала:
в)
Введём подстановку 
, тогда 
. Получим:
Применим формулу интегрирования по частям: 
. В данном случае: 
. Подставляя эти выражения в формулу, получим:
Для вычисления применим способ внесения выражения под знак дифференциала:
Сделаем обратную замену и получим:
г)
Введём подстановку 
, тогда
, так как 
Получим:
Для вычисления применим способ внесения выражения под знак дифференциала:
Сделаем обратную замену и получим:
a)
б)
a)
б)
Для вычисления применим способ внесения выражения под знак дифференциала:
a)
б)
a)
Для вычисления применим способ внесения выражения под знак дифференциала:
Оба интеграла сходятся, значит, сходится и весь интеграл.
б)
Когда 
приближается к 1 подынтегральная функция неограниченно возрастает. Таким образом, 
– особая точка.
Для вычисления применим способ внесения выражения под знак дифференциала:
Стало быть, интеграл сходится и величина его равна 
.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (изобразить график).
Построим эскиз фигуры
Площадь S фигуры, ограниченной сверху и снизу соответственно графиками функций 
и 
, пересекающимися в точках с абсциссами 
и 
, определяется по формуле:
Для нахождения абсцисс точек пересечения данных линий решим систему уравнений этих линий:
Вычислим площадь фигуры:
5. Изобразить график и найти площадь фигуры, используя полярную систему координат.
В декартовых координатах площадь этой фигуры вычислить достаточно сложно. В нашем случае удобнее перейти к полярным координатам, используя формулы перехода, что существенно упрощает задачу.
Подставляя 
, найдем уравнение окружности в полярных координатах.
То есть образ области описывается множеством
и
Вычисляем площадь фигуры в полярных координатах:
6. Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя формулу Грина, изобразить график:
Преобразуем данный криволинейный интеграл к двойному интегралу с помощью формулы Грина 
.
Так как 
, то 
,
, где область 
– 
Составим уравнения сторон данного треугольника как прямых, проходящих через две точки, получим уравнение прямой 
; уравнение 
; прямой 
Вычислим двойной интеграл по области D:
Проверим полученный результат непосредственным интегрированием. Контур составлен из трех отрезков 
. Воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла второго рода и представим его как сумму интегралов, взятых по каждому из указанных отрезков.
Запишем
Уравнение 
следовательно, 
. Нижний предел интегрирования будет равен значению абсциссы точки 
а верхний предел – значению ординаты точки 
Отрезок 
определяется уравнением 
поэтому 
Точке В соответствует значение 
, точке 
– значение 
. Для отрезка 
имеем: 
значит 
Нижний предел интегрирования будет равен значению абсциссы точки 
а верхний предел – значению ординаты точки 
Используя формулу получаем
7. Найти решение уравнений:
a)
б)
a)
Применим подстановку 
, 
тогда 
то есть
Таким образом,
б)
Решим соответствующее однородное уравнение: . 
Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.
Итого, частное решение: 
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
8. Найти решение уравнений:
a)
б)
a)
Таким образом,
б)
Решим соответствующее однородное уравнение: . 
Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.
Итого, частное решение: 
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
Найдем частное решение:
Таким образом,
9. Найти область сходимости ряда (описать применяемые признаки сходимости):
Для нахождения области сходимости степенного ряда применим признак Коши:
Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях 
, которые удовлетворяют неравенству:
, или 
, или 
, или 
, или
.
Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При 
,
данный ряд принимает вид 
, то есть 
Ряд является знакочередующимся.
Исследуем его по признаку Лейбница:
абсолютная величина его общего члена не стремится к нулю при
, то есть 
;
Следовательно, по признаку Лейбница ряд 
расходится. Значит,
не принадлежит области сходимости данного степенного ряда.
При 
данный ряд принимает вид 
, то есть 
.
.
Необходимое условие сходимости ряда не выполняется, следовательно, данный ряд расходится.
Таким образом,
– область сходимости данного степенного ряда.
