Вопрос - ответ

Вопрос 27.

Почему вы пишете, что решили проблему Шеннона, если до пропускной способности гауссовского канала и при использовании мягкого, и жёсткого модемов, как это следует из ваших последних публикаций, ещё остаётся около 1 дБ?

Ответ 27.

Совершенно верно.  И при квантовании в канале с АБГШ  входного двоичного сигнала на 16 уровней (4 бита), и в случае жёсткого модема, принимающего только решения "0"  или "1"  о значениях принятых символов, когда канал превращается в простейший ДСК, эта величина расстояния до уровня энергетики границы Шеннона  для кодовой скорости R~1/2  теперь для наших МПД декодеров составляет около 1 дБ.  Наверное, если бы мы объявили о решении проблемы Шеннона, когда до пропускной способности канала было бы более 4 дБ, то это было бы слишком. Это означало бы, что реальная энергетика передачи более, чем в 2,5 раза превышала бы уровень для пропускной способности канала. Это, разумеется, было бы весьма слабым результатом, чтобы объявлять о какой-то научной "победе". В нашем же случае 1 дб - это превышение границы Шеннона всего лишь на 26%, т. е. просто на четверть от её предельно возможного уровня! Огромная разница!  И заметьте, что мы до последнего времени очень быстро двигались к этой границе. В последних наших работах мы уже обсуждали, какие есть возможности для ещё большего продвижения рабочей области декодера к пропускной способности. Эта принципиальная работа будет продолжена.

Но давайте  теперь вспомним, что обсуждаемая граница абсолютно недостижима. Она становится бесконечно упругой по мере стремления к ней. И непринципиальная разница по энергетике в 26% или, например, 15%  с уровнем этой границы при разработке тех или иных  систем связи уже не изменит заметно характеристики таких систем. Хотя, например, для дальней космической связи  дополнительные полдецибела энергетики могут быть  довольно полезны.

Таким образом, наше объявление об  успешном решении проблемы Шеннона  сделано в правильный момент достижения значимого уровня близости к  этой границе. Более того, указанный уровень энергетики для МПД при R~1/2 уже недоступен для каких-либо других алгоритмов с разумной сложностью декодирования в гауссовских каналах, что тоже очень существенно и весьма показательно.

И наконец, уровень эффективности МПД алгоритмов в недвоичных каналах и в каналах со стираниями  сейчас тоже стал столь близким к предельно возможному, что вся совокупность результатов МПД во всех каналах с независимыми искажениями действительно  позволила нам заявить о решении этой великой  проблемы, поставленной 70 лет назад. Более того, МПД алгоритмы сохранили сложность декодирования  теоретически минимальной, линейно растущей с длиной кода. Это особо подчёркивает высокую научную и практическую значимость  достижений нашей оптимизационной теории (ОТ) помехоустойчивого кодирования, которая теперь развивается на благодатной почве наук о поиске глобального экстремума функционалов, конечно, в  специфических условиях дискретных математических пространств.

  Все известные в настоящее время оценки для числа итераций декодирования в МПД алгоритмах показывают, что количество итераций коррекции символов весьма ограничено,  а реальная их величина в большинстве  случаев не превышает  I=200. Это  многократно меньше, чем необходимо для многих итеративных классических методов, что ещё более подчёркивает преимущество МПД при их реализации во всех цифровых системах.

Вопрос 28.

Почему в теории кодирования так много критериев эффективности кодирования. Вы писали про ЭВК, к. п.д.  и другие. А нельзя  выбрать только  один?

Ответ 28.

Нет, не следует искать единственный критерий. Посмотрите пример "Технического задания" на систему кодирования, которую можно найти на первой главной странице нашего портала. Обратите внимание на  то, как много параметров  кодов и каналов включает в себя такое ТЗ. Все они должны быть выбраны и  согласованы так, чтобы  характеристики системы были сбалансированы  между собой и  достаточно оптимальны. Для этого их следует рассматривать с различных сторон и  с учётом многих особенностей  проектируемой цифровой системы. Критерии, которые вы указали, тоже  помогают проектировщикам в решении задачи создания ТЗ и последующей его реализации.

Но ваш вопрос оказался для нас очень своевременным. Совсем недавно мы  сформулировали ещё один критерий эффективности кодирования, который оказалось полезным ввести для алгоритмов декодирования, работающих вблизи пропускной способности канала. В нём  учитывается и близость рабочей области алгоритма коррекции ошибок к  пропускной способности канала C, и итоговая достоверность осуществляемого им декодирования. Наиболее полезно его использовать  как раз для двоичных АБГШ каналов. Назовём  его  индикатором качества декодирования Золотарёва (ИКДЗ) для конкретных анализируемых алгоритмов. Он весьма удобен в связи с тем, что обычно измеряемые по логарифмической (сильно искривлённой!) шкале энергетические параметры кодов оцениваются слишком грубо  и  односторонне. Это особенно заметно именно в области больших шумов канала, т. е. при  R≲C. 

Сначала сформулируем этот критерий. Пусть  задана энергетика канала E0 при некотором  значении его пропускной способности С.  Пусть далее для некоторого алгоритма декодирования  с вероятностью ошибки декодирования  на бит Pb(e)  уровень рабочей энергетики канала равен Ew=a*E0 , a>1.  Например,  если  при очевидном условии R<C алгоритм недобрал по энергетике 1 дБ до границы Шеннона, то, очевидно, a=1,26. Далее для  заданной вероятности  Pb(e)  оцениваемого алгоритма найдём необходимую энергетику передачи  с этой же достоверностью, но без кодирования Ex=b*E0 .  Величина  b может быть даже большей, чем 10, если алгоритм декодирования действительно обеспечивает высокую  итоговую достоверность. Подчеркнём, что мы сейчас обсуждаем кратности отношений энергий, а не их логарифмы, т. е. не децибелы. Тогда искомый ИКДЗ определяется как

  Q=(Ex-E0) / (Ew-E0)=(b-1)/(a-1).

Интерпретация индикатора предельно проста: это - отношение  удалённости от энергетики границы Шеннона энергий передачи без кодирования и с  кодированием при одинаковых вероятностях  Pb(e) .  ИКДЗ оказывается очень естественным критерием качества декодера:  при стремлении рабочей области декодера к границе Шеннона a -->1,  знаменатель - к  0,  а Q -  к бесконечности, что хорошо, но  очень трудно и на самом деле абсолютно невозможно. А с увеличением результирующей достоверности декодирования  b  тоже заметно растёт, как и Q. Таким образом, ИКДЗ естественным образом отражает качество декодирования  и по уровню рабочей энергетики, и по достоверности.

Для достаточно эффективных  и вполне реализуемых МПД декодеров  уровень ИКДЗ  может превысить Q~40. А для классического алгоритма Витерби (АВ)  и  кода с K=7  будет Q<10. Это тоже неудивительно для весьма короткого кода.

Так что  количество способов оценки кодов растёт и  многие из них оказываются весьма полезными.