Контрольная работа по численным методам №2

БГУ

Контрольная работа по численным методам №2

Для всех заданий k = ?  n = ? (кф предоставлю позже)

задание 1.

Методом Эйлера с точностью е= 10-3методом двойного пересчета решить задачу Коши.

yʹ= - x2y2+( x2-в2)/(1+б2x2)  xϵ[0,1]

y(o)=1

б=0,5+0,1k

в=0,5+0,1n

первоначальный шаг h=0,1

z1=x0+hf(x0 z0)

z0=y(0)=1 посчитали в h=0,1

взять шаг h=0,05=h/2. в точку (0,1) методом Эйлера прийти двумя шагами т. е.  если решение полученное двумя шагами совпадут между собой, то на печать выводить точку х1, h, y. Если решения не совпали то в качестве первоначального шага берется шаг h=0,05 и в точке 0,05 решение ищется методом Эйлера с шагом h и h/2. На печать точку, шаг и решение в этой точке.

Задание 2.

Методом Рунге-Кутты решить систему обыкновенных ДУ.

  [0,1]

Y(0)=0,5  z(0)=1

б=2+0,1k

в=2+0,05n  h=0,1

с фиксированным шагом h, методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности.

у=(x+h)=y(x)+ Ду

Ду=1/6(k1+2k2+2k3+k4) – это векторные записи, т. е. y  здесь для нас имеется ввиду вектор y и z.

y=(y/z)  f=  ( ) , где 

 

Все вектора: k1,2k2,2k3,k4

На печать: точка х, и решение y и z в этой точке.

Задание 3.

Методом Галеркина решить граничную задачу.

yʹʹ (x )+ ∙yʹ(x)- ∙y(x)=2(бx+1)

yʹ(0)=2в+1  0

y(1)=-2 

б=0,2+0,1k

в=0,3+0,2n

для n=3 на печать вывести постановку задачи и решения y3(x)=

найти ц0(x),  ц1(x), ц2(x), ц3(x),  удовлетворяющим требованиям (1)-(5), комбинацию  алгебраических многочленов. Эти функции вывести на печать.

  ц0(x)=ax+b  a и b находим из условия чтобы выполнялись граничные условия. 

ц1(x)=  многочлен второй степени

ц2(x)=  третей степени

ц3(x)=  четвертой степени

Задание 4.

Методом разностной прогонки предварительно использую метод сеток решить граничную задачу для ОДУ.

yʹʹ(x)- ∙y(x)=  0

б  y(0)-2yʹ(0)=б2+2

  yʹ(1)=

б=0,2+0,1k

в=0,3+0,2n  h=0,1 (шаг)

вывести табличные коэффициенты ai, bi, ci, ti

б01 в01 г01

б02 в02 г02

прагоночные коэффициенты  Zi  и  Xi  и решение в узлах сетки yi.

\Задание 5.

Найти решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

 

u(0,t)=б2t

u(1,t)=te-вt

u(x,0)= б2x

б=0,5+0,2k

в=0,7+0,1n

по явной разностной схеме с шагом h=0,1 по х  и с шагом ф=0,005 по ф.  ф

по неявной разностной схеме h=0,1  ф=0,1

на печать вывести две таблицы решений.

Решение по явной схеме использовать формулу в которой вычисление на n+1-ом слое явным образом вычисляется через решение на n-ом слое. (По формуле 8 из конспекта)

По неявной разностной схеме(будет 3 слоя)

На нулевом слое решение записать из начальных условий. Для нахождения решений на 1-ом слое нужно составить систему из 9 уравнений с 9 неизвестными. Матрица этой системы является 3-х диаганальной. решать систему методом гаусса (формулы 14,15,16), решение вычислить по формуле 16.

После того как найдено решение на первом слое, аналогично находим на втором.