1) ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ

1. Вектор - направленный отрезок. Обозначение: или .

   

2. Одинаково направленные векторы - и , противоположно  направленные векторы - и . 

 

3. Координаты вектора. Если и , то координаты вектора или

  , где и - координаты вектора.

    Координаты вектора .

4. Абсолютная величина вектора - длина отрезка,  изображающего вектор. Абсолютная величина вектора

  равна .

5. Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Равные векторы имеют равные координаты и обратно: если векторы имеют равные координаты, то они равны.

6. Разность векторов: и , , , то .

  "Правило треугольника"

 

  Изображаем вектор таким образом, что начало вектора

  и начало вектора совпадают, тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора , а конец совпадает с концом вектора , является .

7. Сложение векторов:  и , ,  , то .

"Правило параллелограмма"

  "Правило треугольника"

Изображаем вектор таким образом, что векторы и имеют общее начало. Вектор изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах и .

Изображаем вектор таким образом, что конец вектора и начало вектора совпадают, тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец совпадает с концом вектора , является .

  Свойства сложения векторов.

  - переместительный закон,

  - сочетательный закон,

 

8. Умножение вектора на число.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

  Произведением вектора на число называется вектор . Для любого вектора и чисел и верно . Для любых векторов и и числа верно .

  Абсолютная величина вектора равна . Направление вектора при совпадает с направлением вектора , если , и противоположно направлению вектора , если .

9. Коллинеарные векторы - два ненулевых вектора, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых, одинаково направленные или противоположно направленные. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны, то есть:

  и коллинеарны, .

  Если , то , если , то .

10. Любой вектор можно представить в виде - разложение вектора по двум неколлинеарным векторам и .

  Если и единичные перпендикулярные векторы (ортвекторы), то .

11. Скалярное произведение векторов и - число (по определению),  .

  Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, то есть , где - угол между векторами.

 

  Угол между векторами можно вычислить по формуле . Если , то угол - тупой, если , то угол - острый, если , то .

12. Деление отрезка в заданном отношении.

  , , точка - принадлежит отрезку , которая делит его в отношении .

    , тогда верным является равенство . Из пропорции можно найти неизвестные координаты точек.

2) ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ

1. Ось - ось абсцисс, ось - ось ординат, . Если точка лежит на оси , то ордината точки равна 0, если точка лежит на оси , то абсцисса точки равна 0.

2. Координаты середины отрезка: 

  , , - середина отрезка , тогда

  .

3. Расстояние между точками:

  , , то .

4. Уравнение окружности: , где - координаты центра окружности, - точка, принадлежащая окружности, - радиус окружности.

5. Любая прямая в декартовых координатах имеет вид , где - некоторые числа. В уравнении прямой определить угловой коэффициент можно так: .

  Прямая, уравнение которой имеет вид , где  - некоторое число, параллельна оси или совпадает с ней, проходит через точку .

  Прямая, уравнение которой имеет вид , где  - некоторое число, параллельна оси или совпадает с ней, проходит через точку . Рассмотрим два уравнения прямых и .

  Если , то прямые параллельны, если , то  прямые пересекаются, если , то прямые перпендикулярны.

6. Уравнение прямой можно записать в виде , где - некоторые числа, - угловой коэффициент. Численно  , где - угол наклона прямой к положительному направлению оси . Если , то угол наклона острый.  Если , то угол наклона тупой.

  Если прямая проходит через точки и , то получить уравнение прямой можно так:  - каноническое уравнение прямой.

  Коэффициент можно вычислить .

7. Условие параллельности прямых:

  прямые и - параллельны тогда и  только тогда, когда  .

8. Условие перпендикулярности прямых:

  прямые и - перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

9. Пересечение прямой с окружностью.

  Пусть - расстояние от центра окружности до прямой, центр окружности - начало координат, то есть уравнение прямой и уравнение окружности .

 

  Если , то прямая пересекает окружность, если , то прямая и окружность касаются, если , то прямая не пересекает окружность.

3) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

1. Если каждую точку первой фигуры сместить каким-нибудь образом, то получим вторую фигуру, которая получилась из первой преобразованием.

2. Движение - преобразование, при котором сохраняется  расстояние между точками фигуры.

3. Свойства движения - точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, сохраняется порядок расположения, прямые переходят в прямые, отрезки - в отрезки, полупрямые - в полупрямые; при движении сохраняются углы между полупрямыми.

  4. Симметрия относительно точки. Преобразованием симметрии относительно точки называется преобразование фигуры в фигуру , при котором каждая ее точка переходит в точку , симметричную относительно данной точки .

  , точка - центр симметрии.

 

  Через точку проводим лучи с вершинами в точках .

  Откладываем отрезки , , , получим, .

5. Если преобразование симметрии относительно точки переводит фигуру в себя, то она называется центрально–симметричной, а точка – центром симметрии.

6. Симметрия относительно прямой. Точка называется  симметричной точке относительно прямой , если прямая является серединным перпендикуляром к отрезку . Преобразованием симметрии относительно прямой называется преобразование фигуры в фигуру , при котором каждая ее точка переходит в точку , симметричную относительно прямой .

  , прямая - прямая симметрии.

 

  Из вершин проводим лучи, перпендикулярные к прямой . На лучах откладываем отрезки , , , получим, .

7. Поворот. Поворотом плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, выходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же самый угол в одном и том же направлении.

 

  Точка О - центр поворота. Проведем лучи . Совершаем поворот лучей по часовой стрелке на угол . Соответственно на построенных лучах откладываем отрезки . Получили .

8. Параллельным переносом называется преобразование фигуры в фигуру , при котором каждая ее точка с координатами переходит в точку с координатами второй фигуры, где и – одни и те же числа для всех точек .

  Формулы параллельного переноса: .

9. Свойства параллельного переноса. Параллельный перенос есть движение. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным прямым или совпадающим на одно и то же расстояние, прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя.

10.