Задания

Задание 1. Выборка, её числовые характеристики

Для указанных ниже статистических распределений выборок требуется:

  Вариант 9.  xi          -5  2  3  4 

                  ni          4  3  1  2

1) Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

Вычислим объем выборки: n= 4 + 3 + 1 +2=10
Наименьшая варианта равна: x1=-5, поэтому F*(x)=0 при x≤-5
Значения X<2, а именно: x1=-5, наблюдались 4 раз, следовательно, F*(x)=4/10=0.4 при -5< x≤2
Значения X<3, а именно: x1=-5, x2=2, наблюдались 7 раз, следовательно, F*(x)=7/10=0.7 при 2< x≤3
Значения X<4, а именно: x1=-5, x2=2, x3=3, наблюдались 8 раз, следовательно, F*(x)=8/10=0.8 при 3< x≤4
Т. к. X=4 — наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x>4

2) Построить полигон частот.

3) Вычислить выборочную среднюю.

4) Вычислить выборочную и исправленную дисперсии.

Задание 2. Линейная корреляция

       По данным, приведенным ниже, вычислить коэффициент корреляции, найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X, построить корреляционное поле и нанести на него прямую регрессии Y на X.

Вариант 9.          X  9,5  10,5  11,0  12,0  14,5 

                          Y  4,5  6,0  8,5  9,0  10,0

А) коэффициент корреляции

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Б) выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X

В) корреляционное поле и нанесенная на него прямая регрессии Y на X

Задание 3. Статистическая проверка статистических гипотез

       Приведено эмпирическое распределение дискретной случайной величины X. Требуется, используя критерий , проверить на уровне значимости =0,05 гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.

               9. Случайная  величина X – число неправильно сброшюрованных учебников в партии. Число наблюдений  n = 1000:

  xi  0  1  2  3  4  5  6 

  ni  505  336  125  24  8  2  0

Выборочная средняя 
Принимаем в качестве оценки параметра л распределения Пуассона выборочную среднюю xср = 0.7. Следовательно, предполагаемый закон Пуассона имеет вид:

Находим теоретические частоты по формуле

Объединим малочисленные частоты: (6,5,4,3) и соответствующие им теоретические частоты.

Вычисляем слагаемые статистики Пирсона по формуле

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против данной гипотезы.

Её границу Kkp = ч2(k-r-1;б) находим по таблице, где k - число интервалов, r=1. Kkp(0.05;2) = 5.99146; Kнабл = 0.62 Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в область, поэтому нет оснований опровергать гипотезу о том, что данные выборки имеют распределение Пуассона.

Задание 4. Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью = 0,95, зная выборочную среднюю , объем выборки n и среднее квадратичное отклонение

Вариант 9.                 = 75,09;                n = 196;                

b = 2Ф(t) = 0,95. Ф(t) = 0,475.

По таблице для функции Лапласа Ф(t) = 0,475 находят соответствующее значение t = 1,96. Следовательно, . Подставляя в формулу

Получаем →

Задание 5.

В группе n студентов. По контрольной работе n1 студентов получили 5 баллов, n2 студентов получили 4 балла, n3 студентов получили 3 балла и n4 студента получили 2 балла. Можно ли считать, что мы имеем дело с группой «троечников»? 

1.9 n = 26, n1 = 6, n2 = 5, n3 = 9, n4 = 6.

Указание. Решить задачу с помощью критерия Пирсона.

Сформулируем гипотезы:

Н0: Распределение оценок, полученных студентами по контрольной работе, не отличается от равномерного распределения.

Н1: Распределение оценок, полученных студентами по контрольной работе, статистически достоверно отличается от равномерного распределения.

       Вычислим теоретическую частоту по формуле: fтеор = n/k = 26/4 = 6,5, где n – количество студентов, k – количество вариантов оценок.

       Теперь необходимо сравнить с этой частотой все эмпирические частоты.

Оценки (баллы)	Эмпирические частоты fj	Теоретическая частота fт	fj – fт	(fj – fт)2	(fj – fт)2/fт
5 4 3 2	6 5 9 6	6,5 6,5 6,5 6,5	-0,5 -1,5 2,5 -0,5	0,25 2,25 6,25 0,25	0,04 0,35 0,96 0,04
Суммы	26	26	0	1,39

Вычислим число степеней свободы ν = к-1 = 4-1 = 3. Найдем по таблице критические значения: χ2кр = 7.815 для α = 0.05, χ2кр = 11.345 для α = 0.01. Гипотезу Н0 следует принять, то есть распределение полученных оценок не отличается от равномерного, так как χ2эмп =1,39 < 7.815.

Задание 6. Выявление различий в уровне исследуемого признака.

В таблице (ниже) представлены значения вербального интеллекта, полученные с помощью методики Векслера у студентов-физиков (А), студентов-психологов (В), студентов-биологов (С), студентов-экологов (D) и студентов-историков (Е) университета. Требуется установить:

2.9.Превосходят ли студенты-биологи (С) студентов-экологов (D) по уровню вербального интеллекта?

№ п/п	А: физики	В: психологи	С: биологи	D: экологи	Е: историки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	136 129 136 136 132 131 135 132 124 132 132 134	123 115 126 127 120 132 116 120 123 120 128 133	131 128 127 120 115 130 117 120 119 122 130 129	98 118 124 126 116 130 128 121 123 121 119 122	123 122 130 117 97 121 115 112 96 127 125 111

Указание. Решить задачу с помощью критерия U Манна-Уитни, критические значения для n1=n2=12:

Uкр = 42 (=0.05) и Uкр = 31 ( =0.01). 

Критерий Манна-Уитни.

где Tx - наибольшая сумма рангов, nx - наибольшая из объемов выборок n1 и n2.

Сравнение результатов показывает, что значения выборки С несколько выше, чем выборки D, поэтому первой считаем выборку С.
Требуется определить, можно ли считать имеющуюся разницу между баллами существенной.

Проранжируем таблицу.

Используя этот принцип ранжирования, получим таблицу рангов.

Принимается гипотеза о незначительности различий между выборками, так как Uкр < uemn (при обеих ).