УДК
Логарифмические неравенства. Метод рационализации
Элерт Татьяна
ГБНОУ «Губернаторский многопрофильный лицей-интернат»
Логарифмические уравнения, неравенства и их системы, как правило, задание части С в ЕГЭ по математике. Результаты проверки ЕГЭ показывают, что большинство учащихся решают логарифмические неравенства с использованием стандартных, алгоритмических методов, что приводит к очень громоздким выкладкам. В связи с этим процент выполнения заданий второй части работы невысокий.
Поэтому главной целью работы являлось изучение метода решения логарифмических неравенств, основанного на замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) , при которой неравенство G(x) ∨ 0 равносильно неравенству F(x) ∨ 0 в области определения выражения F(x) . Это так называемый, метод рационализации. Большой спектр задач решается изящно и интересно при помощи применения этого метода.
В работе условия равносильности сформулированы в виде теорем, приведены доказательства к ним. Равносильные переходы представлены в виде таблицы в приложении.
Рассмотрим логарифмическое неравенство
(1)
Особенность этого неравенства заключается в том, что оно с переменным основанием. Решая это неравенство традиционным способом, мы бы рассматривали два случая: сравнивая основание с единицей, т. е. данное неравенство равносильно совокупности двух систем
или 
Метод рационализации позволяет в области допустимых значений неравенства (1) 
(2)
заменить его равносильным неравенством
(3)
Приведем обоснование равносильности. Пусть верно неравенство (3) , которое равносильно совокупности систем:
или 
Из первой и второй системы совокупности следует выполнения неравенства (1).
Верно и обратное. Пусть верно неравенство (1), тогда из справедливости полученных систем 
следует неравенство (3).
Преимущество метода рационализации состоит в том, что за один шаг можно освободиться от логарифмов с переменными основаниями, и затем, если основание логарифма и логарифмируемые выражения являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов.
Теоретический материал проиллюстрирован большим количеством решенных заданий из сборников для подготовки к ЕГЭ. Исследовательскую работу можно рекомендовать выпускникам старшей школы, как новый материал, который они могли бы использовать при подготовке к государственной итоговой аттестации по математике в форме ЕГЭ для обобщения и систематизации знаний по данной тематике.
Приложение. Таблица равносильности
F(x) | G(x) | |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
Пример. Решить неравенство
.
Область допустимых значений неравенства определим из системы
решением которой является интервал 
.
Для решения первоначального неравенства применим метод рационализации, получим
,
или после преобразования
.
Решения полученного неравенства: 
принадлежат ОДЗ.
Ответ:-6;0;6.
Литература.
1. Математика. Тесты к ЕГЭ/ .-Ростов н/Д: Феникс,2012.-220с.
2.Математика. Все для ЕГЭ 2012.Книга1/, , .-
Ростов н/Д:НИИ школьных технологий,2011.-272с.
3.ЕГЭ-2012.Математика: типовые экзаменационные варианты:30вариантов/ под ред. , .- М:Национальное образование, 2011.-192с.
Научный руководитель: ст. преп. кафедры диф. уравнений КемГУ
