Матрицы

1. Матрицы.

1. Прямоугольная таблица чисел (действительных или комплексных), состоящая из n столбцов и m строк:

называется матрицей, а числа её элементами. При m=n матрица называется квадратной.

       2. Матрицы и , одного размера называются равными, если

    .

       3. Суммой двух матриц и , одного размера называется матрица того же размера, где:

  ,.

       4. Произведением матрицы ,на число называется матрица , где 

.

       5. Произведением матриц и , соответствующего размера называется матрица ,  , где

. ()

Пример 1.

,  ; 

;

.

       6. Квадратная матрица  называется транспонированной к матрице , если  .

При этом вводится обозначение , и справедливо равенство .

7. Квадратная матрица называется единичной,

Если для каждой квадратной матрицы Q того же размера

, при этом

,

и в общем случае имеет вид:

.

2. Определитель матрицы

       Определителем (детерминантом) квадратной матрицы 2-го порядка называется число, определённое выражением:

.

Определителем матрицы 3-го порядка называется число, определяемое соотношением:

,                                                 (1.1)

где числа называются алгебраическими дополнениями к элементам и вычисляются по формулам:

, , .

Вычисление определителя по формуле (1.1) называют разложением по первой строке.

Определителем n-го порядка называется число, определяемое выражением:

,

где  алгебраические дополнения о2пределяются аналогично предыдущему (определители называются минорами).

Например,

Определение. Квадратную матрицу называют обратной к квадратной матрице того же размера, если имеет место соотношение:

,

(где - обозначение обратной матрицы).

Определение. Рангом матрицы А (обозначается rang A) будем называть наибольшее число ненулевых строк в матрице, полученной после элементарных преобразований матрицы А к простейшему верхнетреугольному виду.

2.4. Линейная зависимость и независимость. Базис.

Определение. Система элементов  линейного пространства называется линейно зависимой, если существуют числа , не все равные нулю (т. е.) такие, что их линейная комбинация равна нулю, т. е. . Если же равенство возможно только при всех , тогда элементы называются линейно независимыми.

Определение. Совокупность линейно независимых элементов называется базисом линейного пространства , если любой элемент может быть представлен в виде , при этом указанное представление называется разложением элемента по базису , а числа называются координатами элемента   в базисе .

4. Вектор.

Определение 1. Направленный отрезок прямой на плоскости или в пространстве назовём вектором (введя обозначение ), если заданы:

прямая, на которой лежит вектор, направление (ориентация) вектора на этой прямой, длина вектора (обозначим её ),

рис.3.1.

при этом точка называется началом, а точка концом вектора .

Покажем, что множества векторов, лежащих на плоскости или в пространстве, являются линейными пространствами.

Определение 2. Вектор будем называть нулевым (), если точка совпадает с точкой .

Определение 3. Векторы и , лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными ().

Определение 4. Векторы и называются равными (), если они коллинеарные, имеют одинаковую длину () и направление (ориентацию).

Определение 5. Суммой двух векторов и будем называть вектор , построенный по правилу параллелограмма (или треугольника).

При этом вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , приведённых к общему началу.

рис.3.2.

4.1. Понятие компланарности векторов в трёхмерном пространстве.

Определение. Множество векторов в пространстве называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях (при этом два вектора всегда компланарны, т. к. после приведения их к общему началу они лежат в одной плоскости).

5. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.

При рассмотрении скалярного произведения следует указать на тот физический факт, что работа силы вдоль направления (см. рис.4.2) определяется формулой:

.

рис. 4.2.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и в линейном векторном пространстве векторов (или ) называется число, определяемое соотношение:

рис. 4.3.

6. .Векторное произведение двухвекторов и его основные свойства.

Определение. Векторным произведением двух векторов и в линейном векторном пространстве называется вектор , такой, что:

1.

2.

3. векторы , и образуют правую тройку векторов.

7.  Смешанное произведение трёх векторов и его основные свойства.

Определение. Смешанным произведением трёх векторов , и называется число, определяемое соотношением (), при этом его основные свойства полностью определяются соответствующими свойствами скалярного и векторного произведений.

8. Уравнение плоскости.

Рассмотрим плоскость с нормалью и двумя точками на ней ,

:

рис.5.1.

В силу ортогональности векторов:

и их скалярное произведение будет равно нулю:

  (5.1)

Полученное соотношение (5.1) называется уравнением плоскости, проходящей через заданную  точку , с фиксированной нормалью .

Открыв скобки получим так называемое “общее уравнение” плоскости:

  (5.2)

9. Уравнение прямой.

       Прямую в пространстве можно задать с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей:

  (5.6)

Если задать опорную точку и произвольную «скользящую» точку

рис.5.5.

на данной прямой, тогда условие коллинеарности вектора , параллельного данной прямой (направляющий вектор), и вектора  позволяют записать так называемое «каноническое уравнение прямой»:

  (5.7)

Приравняв эти пропорции параметру , получаем «параметрические уравнения прямой»:

3. Фонды оценочных средств:

Словарь (глоссарий) основных терминов и понятий:

1. Первообразная и неопределённый интеграл.

Первообразной для функции называется такая функция , что для всех из области определения .

Неопределённым интегралом от функции называется совокупность всех первообразных этой функции.

Неопределённый интеграл от функции обозначается .

Если функция является одной из первообразных для , то .

2. Интегральная сумма. 

Пусть на отрезке задана непрерывная функции . Разобьём отрезок  на n частей точками деления , причём и положим . В каждом из отрезков возьмём произвольным образом по точке, которые обозначим , .

Интегральной суммой функции на отрезке называется сумма

,

или

.

3. Определённый интеграл.

Если при любых разбиениях отрезках таких, что  , и при любом выборе точек  на отрезках  интегральная сумма 

стремится к одному и тому же пределу s, то этот предел называют  определённым интегралом  от функции на отрезке и обозначают .

Таким образом,

.

4. Формула Ньютона - Лейбница.

Если  функция есть какая-либо первообразная от непрерывной функции , то справедлива формула Ньютона – Лейбница

.

5. Несобственный интеграл.

Если существует конечный предел

то этот предел называют несобственным интегралом от функции на интервале и обозначается .

.

Если предел существует конечный предел, то говорят, несобственный интеграл существует или сходится, в противном случае, говорят, что не существует или расходится.

6.  Точка n-мерного арифметического пространства .

Всякий упорядоченный набор из n действительных чисел   обозначается или и называется точкой n – мерного арифметического пространства .

7. Функция нескольких переменных.

Пусть - произвольное множество точек n – мерного арифметического пространства . Если каждой точке поставлено в соответствие некоторое вполне определённое число , то говорят, что на множестве задана числовая функция от n переменных . Множество D областью определения.

Частные производные.

Пусть  - произвольная фиксированная точка из области определения функции . Придадим значению переменной приращение . Частной производной 1-го порядка данной функции по переменной  в точке называется 

  .

Частной производной 1-го порядка обозначается  или  .

Полное приращение.

Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям аргументов называется  разность

  .

Полный дифференциал.

Полным дифференциалом функции называется

,.

Дифференциалы независимых переменных по определению принимаются равными их приращениям:

.