УЧЕТ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ

НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

РФ АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», С.-Петербург

197046, . Тел. (812) 232 59 15. E-mail: *****@***ru

Ключевые слова: надежность, система контроля

Рассматривается один из возможных подходов к решению задачи определения показателей надежности сложной системы с учетом системы контроля. Получены аналитические выражения для вычисления вероятности появления ошибок на выходе системы и обнаружения ошибок системой контроля; вероятности отсутствия ошибок и для вероятности возникновения необнаруженных отказов с учетом характеристик системы контроля.

В настоящее время функционирование сложных технических систем, в том числе навигационных комплексов, невозможно без системы контроля, которая обнаруживает и фиксирует ошибки, возникающие в системе. Следовательно, надежность работы такой системы зависит, в том числе, и от качества системы контроля. Существующие методы оценки надежности сложных систем как правило, не учитывают параметры системы контроля [1, 4].

Отсюда и возникает задача разработки таких критериев и показателей, которые, с одной стороны отражают надежностные свойства системы, а с другой – учитывают параметры контроля. Цель данной работы – оценка влияния системы контроля на показатели надежности сложной технической системы.

Итак, пусть требуется определить вероятность безотказной работы системы за заданное время t.

Введем следующие обозначения:

t1 – время возникновения ошибки в системе (случайная величина);

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

t2 – время появления ошибки на выходе системы (случайная величина);

t3 – время обнаружения ошибки системой контроля (случайная величина);

Очевидно, что .

- функция распределения времени возникновения ошибки;

- функция плотности распределения времени возникновения ошибки,

- функция распределения времени появления ошибки на выходе;

- функция плотности распределения времени появления ошибки на выходе, ;

- функция распределения времени обнаружения ошибки системой контроля;

- функция плотности распределения времени обнаружения ошибки системой контроля, .

Рассмотрим случай возникновения одной ошибки.

При этом возможны следующие три случая:

- ошибка не возникла за время t. Вероятность этого события обозначим ;

- ошибка возникла и обнаружена системой контроля за время t. Вероятность этого события обозначим ;

- ошибка возникла и не обнаружена системой контроля за время t. Вероятность этого события обозначим .

Тогда вероятность безотказной работы системы за время  t может быть определена следующим образом:

                                       (1)

При этом:

Вероятности отсутствия ошибки и обнаружения ошибки могут быть определены из следующих соотношений:

                                       (2)

                                       (3)

где  - вероятность появления ошибки на выходе системы в момент t2 и обнаружения ошибки системой контроля в момент  t3 при условии, что ошибка возникла в момент t1.

Вероятность может быть записана в следующем виде:

где  - вероятность обнаружения ошибки системой контроля в момент времени t3, при условии, что ошибка появилась на выход устройства в момент времени t2.

Вероятность может быть определена как:

Следовательно, вероятность обнаружения ошибки может быть записана следующим образом:

               (4)

Рассмотрим случай возникновения нескольких ошибок

2.1 Аналогично случаю возникновения одной ошибки, обозначим вероятности для второй ошибки через , и соответственно. При этом вероятность безотказной работы системы определяется выражением:

В случае появления в системе трех ошибок имеем:

В общем случае при наличии в системе  К ошибок, получаем:

где ;

;

- вероятность отсутствия ошибки z-го типа за время t,  ;

- вероятность возникновения ошибки -го типа, появления ошибки на выходе системы и обнаружения ошибки системой контроля за время t, ;

- времена возникновения ошибки, появления ошибки на выходе и обнаружения ошибки z-го (n-го) типа соответственно;

- соответствующие функции плотности распределений для n-ой ошибки;

- функция распределения времени возникновения z-й ошибки;

- функция плотности распределения времени возникновения z-й ошибки;

А и В – множества номеров ошибок z-го и n-го типов соответственно, при этом  , где - множество всех номеров ошибок;

D – количество слагаемых в левой части.

Пример расчета параметров надежности

В качестве примера рассмотрим самый простой случай – появление одной ошибке в системе. Для нее определим вероятность безотказной работы за время t.

Пусть все функции распределения имеют экспоненциальный вид с интенсивностью отказов л. Тогда можно записать:

В этом случае вероятность отсутствия ошибки за время t определяются следующим образом:

.

Вероятность того, что ошибка возникнет и будет обнаружена системой контроля за время t:

.

Тогда, вероятность безотказной работы системы за время t определяется как:

Если сравнить это выражение с выражением для вероятности безотказной работы [3] , то для времени  получаем:

.

Таким образом, . Это происходит из-за того, что при вычислении не учитывалось время распространения ошибки до выхода (считается, что ошибка появляется на выходе мгновенно), а при вычислении это обстоятельство учитывается, причем возможна ситуация, когда ошибка возникла, но на выходе системы не появилась за заданное время t.

3 Оценка зависимости вероятности необнаруживаемого отказа от  глубины контроля.

Рассмотрим зависимость вероятности возникновения отказа, необнаруживаемого за время t, от глубины контроля. Интервал времени от момента возникновения отказа одного из элементов системы до момента обнаружения ошибки – это случайная величина, которая зависит как от структуры самой системы, так и от качества системы контроля. Допустим, что система контроля идеальна, т. е. обнаруживает все ошибки, возникающие на контролируемых выходах. Система контроля не успеет обнаружить ошибку за время tЗАД, если время прохождения сигнала об ошибке до ближайшей контрольной точки больше tЗАД [2]. Вероятность РСК  того, что ошибка не будет обнаружена за заданное время, в этом случае можно определить как:

,

где - количество элементов системы, которое проходит сигнал об ошибке от отказавшего элемента до контрольной точки;

- время задержки сигнала элементом;

Р1 – вероятность того, что отказ возник в  части системы, удаленной от контрольных точек не менее чем на элементов: (наибольшее целое).

Предположим, что система состоит из N элементов, из них Nk элементов влияют на контрольную точку. Если отказы всех элементов системы равновероятны, то вероятность того, что ошибка появилась в группе Nk, равна:

Очевидно, что при увеличении tЗАД вероятность необнаружения ошибки РСК за время t монотонно уменьшается и стремится к 0 при tЗАД, которое больше времени распространения ошибки к контрольной точке от самого удаленного элемента системы:

.

Качественная зависимость вероятности РСК от времени t приведена на рис. 1:

Рис. 1 Зависимость вероятности РСК от времени

.

Проведем анализ формы кривой, представленной на рис. 1. С этой целью оценим приращение вероятности в точке при изменении времени на :

,

где .

Отсюда следует, что уменьшение вероятности необнаружения ошибки при увеличении на пропорционально количеству элементов , через которые проходит ошибка до ближайшей контрольной точки:

Пусть имеется система, структура которой постоянна и количество выходных параметров которой равно числу входных параметров. Также допустим, что на каждый из выходных параметров влияет одинаковое число элементов. Тогда, для такой системы приращение количества элементов на для любого будет постоянным. Отсюда следует, что для данной системы зависимость можно аппроксимировать прямой линией (кривая 1 на рис. 2):

Для системы с произвольной структурой зависимость имеет сложный вид, оценить который можно только при анализе конкретной системы. Так для систем с малым числом входных параметров и большим числом контрольных точек вероятность будет уменьшаться с ростом времени t и зависимость будет вогнутой (кривая 2 на рис. 2). В случае, когда число входных параметров системы намного превышает число контрольных точек, то указанная выше зависимость будет иметь выпуклый характер (кривая 3 на рис.2):

Рис.2 Зависимость вероятности от времени для различных классов систем

Таким образом, видно, что предложенные модели позволяют учитывать вероятность безотказной работы системы в зависимости от количества элементов  в ней.

Итак, в докладе получены выражения для вероятности появления ошибок на выходе системы, обнаружения ошибок системой контроля, вероятности отсутствия ошибок и для вероятности возникновения необнаруженных отказов. Кроме этого, приведены оценки вероятности того, что ошибки не будут обнаружены за заданное время. Предложенная методика вычисления вероятности безотказной работы системы позволяет более точно учитывать надежностные характеристики систем с контролем.

ЛИТЕРАТУРА

1. К решению одной максиминной задачи оценивания надежности с выбором момента включения резерва // // Автоматика и телемеханика. – 2012. №5 – С. 161-166.

2. , , Обеспечение безопасности специализированных ЭВМ с комбинированным резервированием на основе контрольных точек  // и др. // Безопасность информационных технологий. – 2012. №1 – С. 75-77.

3. Надежность технических систем и техногенный риск. Тамбов, ТГТУ, 2012. – 80 С.

4. ,   Методы оценки показателей надежности компонентов и систем // Современные проблемы науки и образования. – 2015, №1-1