Метод Мажорант

Государственное бюджетное образовательное учреждение

средняя образовательная школа № 000

Метод Мажорант

Автор проекта: ученик 10 «Б» класса

Научный руководитель проекта: учитель математики

г. Москва

2015 г

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………...3

1.Обзор литературы.………………………………………………………….....................……...4

1.1.Признаки присутствия мажоранты в задаче..………………...…..........................….4

1.2.Примеры элементарных функций, которые имеют ограниченное множество значений……………………………..……………………......................................….5

1.3. Встреча на краю............................................................................................................6

2.Практическая часть……………….……………………………...................................................7

3.Выводы…..…..…………………………………………………..…….......................................15

4.Литература……………………………………………………………..........................…….....16

5.Приложение………...…………………………………………………………………………..17

Введение

При решении нестандартных задач встречаются уравнения, содержащие разнородные функции. Задания подобного типа встречаются среди экзаменационных.

Решение уравнений и неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства и уравнения. Один из способов решения неравенств и уравнений – метод мажорант. Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, задачи с параметром.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В разных источниках данный метод называется по-разному. Некоторые математики называют этот метод по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max», задачи «встреча на краю». Но в большинстве источников он называется «метод мажорант» Это очень красивый метод, и ему непременно надо научиться всем. Метод, который имеет место быть в ЕГЭ.

Цель: показать практически универсальный алгоритм решения многих задач методом мажорант

Задачи:

Изучить определения мажоранты функции и исследовать, какие функции имеют мажоранту. Изучить метод мажоранта, применить этот метод для решения нестандартных уравнений и неравенств. Привести примеры уравнений и неравенств, которые могут быть решены методом мажоранта. Создать сборник задач по теме метод мажоранта для подготовки к ЕГЭ.

История слова «мажорант». В большой советской энциклопедии читаем «Мажоранта и миноранта, две функции, значения первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции (для всех рассматриваемых значений независимого переменного).

Главные выводы работы:

Выполняя данный исследовательский проект, я провел огромную работу. Для начала надо было собрать и систематизировать информацию по данной теме, что было достаточно тяжело, так как эта тема для меня новая, незнакомая, и все надо было начинать с нуля. Главной же частью данного проекта была практическая часть, а именно создание сборника задач по теме "Метод мажоранта" при решении уравнений и неравенств, который пригодится будущем, а именно при подготовке к ЕГЭ.

1. Обзор литературы

Метод мажорант - нестандартный метод решения уравнения и неравенств. Заключается в том, что одна часть уравнения (или неравенства) ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения (или неравенства) ограничена снизу этим же числом М. Число М называется мажорантой.

Мы знаем много мажорант для известных функций:

Методом мажорант решаются уравнения вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x) - функции совершенно разного вида.

Определение

Мажорантой (от magiorante – главенствующий) данной функции f на множестве р называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех хр, либо f(х) ≥ М для всех хр.

1.1. Признаки присутствия мажоранты в задаче:

Смешанное уравнение (или неравенство), т. е. в задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов, т. е. наличие в уравнении функций, уравнения с которыми решаются принципиально разными способами Сложный, трехэтажный и пугающий вид, большие числа и коэффициенты, т. е. если очевидно, что стандартными методами уравнение не решить.

Для нахождения мажоранты необходимы:

Знание свойств функций; Умение исследовать функции на максимум, минимум, области значений и прочие характеристики; Умение преобразовывать функции, так, чтобы было проще вытащить мажоранту;

При применении данного метода используется определение ограниченных функций.

При решении уравнения с помощью метода мажорант, мы, как правило: выясняем, что правая часть уравнения больше или равна какого-то числа, а левая – меньше или равна. Или наоборот. равенство возможно, если обе части уравнения равны этому числу приравниваем ту часть уравнения, которая проще, к этому числу и находим соответствующее значение х проверяем, что при этом значении х другая часть уравнения также равна этому числу.

Необходимо знать некоторые нестандартные неравенства:

Опорные неравенства:

1. а) при a > 0, равенство при a = 1

б) при a < 0 равенство достигается при a = - 1

2. при и ; равенство достигается при a = b

1.2. Примеры элементарных функций, которые имеют ограниченное множество значений.

Метод мажорант основан на том, что множество значений некоторых функций ограничено. При использовании метода мажорант нужно выявить точки ограниченности функции, то есть в каких пределах изменяется данная функция, а затем использовать эту информацию для решения уравнения или неравенства. Чтобы успешно пользоваться этим методом, нужно хорошо знать, какие функции имеют ограниченное множество значений.

Примеры элементарных функций, которые имеют ограниченное множество значений:

≥ 0 -

≤ arcsinx ≤

0 ≤ arccosx ≤

< arctgx <

0 < arcctgx <

Графическая интерпретация этих примеров - в приложении 1.

1.3. "Встреча на краю"

Разновидностью метода мажорант являются задачи, в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенства имеют единственную общую точку, являющуюся наибольшим значением для одной части и наименьшим для другой.

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду: путем разложения на множители, избавлением от модулей, логарифмов и т. д. Затем необходимо ещё раз внимательно прочитать задание, попробовать нарисовать графический образ функций входящих в задачу.

2. Практическая часть

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Оценим обе части уравнения.

При всех значениях х верны неравенства . Следовательно, данное уравнение равносильно системе . Полученная система не имеет решений, так как не удовлетворяет второму уравнению.

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Поскольку , равенство выполняется тогда и только тогда, когда .

Решением первого уравнения системы являются значения .

При этих х найдем .

Следовательно, решение системы.

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид . Поскольку и , неравенство выполняется тогда и только тогда, когда . Обратная замена: х + 1 = 0 .

Ответ: - 1.

Пример 4. Решить уравнение ..

Решение.

Поскольку при всех х, то данное уравнение равносильно совокупности систем

Решим первую систему: . Тогда . Следовательно, система несовместна.

Решим вторую систему: . Тогда . Следовательно, система несовместна.

Ответ:

Пример 5.

Решение.

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения.

Перепишем уравнение в виде . При всех значениях х выражение поэтому .

При всех значения х выражения и . Поэтому .

Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4.

Получаем систему:

Ответ: при

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Так как при любых , то их сумма при любых , причем знак равенства будет, лишь, если и одновременно.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе которая, как легко убедиться, решений не имеет.

Ответ: решений нет.

В следующих примерах я разберу решение уравнений с помощью разновидности метода мажорант "встреча не краю".

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Корень уравнения легко угадать. Это x = 1. Но доказать его единственность из соображений монотонности не удается, потому что ни левая, ни правая части уравнения не являются монотонными функциями. Здесь используется другая идея.
Преобразуем уравнение: . Наибольшее значение правой части полученного уравнения равно 1 и принимается в точке x = 1. Выражение под логарифмом равно , при x = 0; (вывод этого известного неравенства: ). Поэтому левая часть достигает при x = 1 своего наименьшего значения, которое также равно 1.

Вывод: равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1, т. е. при x = 1.

Ответ: 1.

Пример 8. Решить уравнение .

1 способ.

Решение.

Заметим, что левая часть уравнения не превосходит единицы, в то время как правая часть не меньше единицы. Следовательно, исходное уравнение имеет решение, только если обе его части равны единицы. Это возможно только при .

Ответ: .

2 способ.

Решение.

Данное уравнение можно решить графически. Для этого построим в одной системе координат графики правой и левой частей уравнения, т. е график функции и график функции . Из рисунка видно, что исходное уравнение имеет решение, только при .

Ответ: .

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. Так как при любом значении х:

то данное уравнение выполняется только в том случае, если выполняется система .

Первое уравнение системы имеет единственный корень х = 1, но этот корень не удовлетворяет второму уравнению. Поэтому система решений не имеет.

Ответ: ∅

Пример 10. Решить уравнение .

Решение. Так как , то левая часть уравнения принимает значение от

до 2. Для правой части (в силу неравенства для суммы двух взаимно обратных чисел) выполнено .

Поэтому уравнение имеет решения, если и только если одновременно выполнены два условия . Решая эту систему, получаем

Ответ:

Пример 11. Решить уравнение .

Решение. Так как и , то сумма равна 2 в том случае, когда и одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений, решая которые имеем .

Ответ: .

Пример 12.

Решить уравнение .

Решение.

Очевидно, что , , .

Перемножив почленно эти неравенства, получаем:

Левая часть равна правой, лишь при условии одновременно. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений , отсюда получаем корни уравнения.

Ответ: .

Пример 13.

Найдите все значения параметра а при каждом из которых неравенство имеет решение.

Решение.

Оценим обе части неравенства. Для этого преобразуем правую часть неравенства, выделив полный квадрат . Квадратичная функция принимает наименьшее значение в вершине, оно равно 4 и достигается при , то есть при .

Множество значений левой части неравенства составляет промежуток , следовательно, наибольшее значение равно 4.

Значит, неравенство выполняется в случае равенства обоих частей, и только в том случае если (то есть происходит «встреча на краю»).

Ответ:

Пример 14.

Найдите все значения параметра а при которых уравнение

имеет решение.

Решение.

Оценим обе части уравнения.

Найдем множество значений левой части исходного уравнения: так как , то , тогда, следовательно, наименьшее значение равно 5.

В правой части данного уравнения – квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вниз.

Выделив, полный квадрат получаем: . Следовательно, наибольшее значение правой части равно 5 и достигается в вершине при , то есть при .

Итак, исходное уравнение имеет решение при .

Ответ: 5.

Пример 15. Решить уравнение .

Решение. Левая часть уравнения не больше 2, так как , значит . Равенство возможно при условии .

Правая часть должна быть положительна, так как , а значит .

Кроме того, .

Тогда равенство обеих частей уравнения возможно лишь при условии .

Отсюда находим, что .

Ответ: .

Пример 16.

Решите уравнение .

Решение.

Для решения уравнения оценим его части: и . Поэтому равенство возможно только при условии.

Сначала решим второе уравнение.

Получаем: , , , или . Корни этого уравнения и .

Проверим справедливость первого равенства, подставив эти корни.

При получаем: (верное равенство).

Для имеем: (неверное равенство).

Итак, данное уравнение имеет единственный корень .

Ответ: 0.

4.Выводы

Итак, я рассмотрел часто встречающиеся типы уравнений и способы их решений и сделал вывод, что метод мажорант является очень выжным методом решения экзаменационных уравнений и неравенств.

Многие известные нам функции имеют мажоранты: тригонометрические функции, квадратичная функция, некоторые дробно-рациональные функции. Если мажоранта функции не задана явно, мы можем найти ее, исследуя функцию с помощью производной, или применяя некоторые «полезные» свойства, неравенства. Чтобы найти мажоранту функции нужно найти ее наибольшее или наименьшее значение на промежутке. Умение оценивать левую и правую части, входящих в уравнения и неравенства, позволяет успешно решать нестандартные задачи и задачи повышенной сложности.

Я считаю, что:

Представленная работа будет очень полезна школьникам для подготовки и сдаче ЕГЭ и к поступлению в ВУЗ. Работа будет полезна и студентам, потому что рассмотренный нами метод может быть с успехом применен и к решению многих задач по высшей математике; Подготовка старшеклассников к олимпиадам обязательно должна включать в себя и решение задач методом мажорант. По результатам данной работы мною был составлен сборник заданий, в котором приведены примеры решения уравнений, неравенств и систем методом мажорант, а также подобраны примеры для самостоятельного изучения.

5. Литература

http://www. shkola10-baikonur. edusite. ru/ http://www. fs. nashaucheba. ru/docs/270/index-1538093.html http:///enc_math/Mazhoranta-i-minoranta-2046/ http://ppt4web. ru/matematika/metod-mazhorant. html http:///sbornikidei/ispolzovanie-metoda-mazhoranta-pri-reshenii-uravneniy. html http://www. reshmat. ru/example_det_3.html http://knowledge. allbest. ru/mathematics/2c0a65635a3bd78a4c53a88421316c37_0.html http://www. /Шпаргалка_по_Высшей_математике_3_часть=4 http://www. terver. ru/svojstvapokazatalnojfunkcii. php http://ege-ok. ru/2013/03/11/reshenie-nestandartnyih-uravneniy-i-neravenstv-s-pomoshhyu-metoda-mazhorant/

5. Приложения

Примеры функций, имеющих мажоранту.

1. Тригонометрические функции.