Тройной интеграл
Пусть фигура 
– область трехмерного пространства, ограниченная замкнутой поверхностью. Мерой 
этой фигуры является ее объем 
. Меру элементарной фигуры обозначим 
, 
, максимальный из диаметров элементарных фигур – 
.
1. Разобьем 
произвольным образом на 
элементарных фигур 
с мерами
, 
.
2. На каждой элементарной фигуре выберем произвольную точку 
и вычислим значения 
функции в этих точках.
3. Найдем произведения 
, 
.
4. Составим сумму
, (1)
которую будем называть 
-й интегральной суммой для функции 
по фигуре 
.
5. Обозначим через 
наибольший из диаметров элементарных фигур 
. Перейдем к пределу в сумме (1) при условии, что 
стремится к нулю:
.
Ее предел при 
, если он существует и не зависит от способа разбиения на элементарные фигуры и выбора точек 
, называют тройным интегралом от функции 
по пространственной области 
и обозначают
.
Здесь 
– область интегрирования; 
– переменные интегрирования; 
– дифференциал объема пространственной области.
Вычисление тройного интеграла
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному трехкратному интегрированию по каждой из переменных 
, от которых зависит подынтегральная функция.
Предположим, что тело 
– правильная в направлении оси 
пространственная область, ограниченная замкнутой поверхностью, т. е. прямая, проходящая через внутреннюю точку 
параллельно оси 
, пересекает ее границу ровно в двух точках.
Чтобы установить правила расстановки пределов и вычисления тройного интеграла, воспользуемся его интерпретацией как массы тела 
при условии, что функция 
является плотностью распределения массы
(1)
Вычислим массу той же фигуры иным путем. Предположим, что тело 
ограничено поверхностями 
снизу и 
сверху, при этом 
, где 
– проекция тела 
на плоскость 
.
Возьмем элементарную площадку (элементарную фигуру), принадлежащую области 
, площадь которой равна 
, и вычислим массу стержня, вырезанного в теле 
цилиндрической поверхностью, у которой направляющей служит граница элементарной площадки, а образующая параллельна оси 
(рис.1).
Выделим на высоте 
из стержня элемент длиной 
. Считаем, что плотность для выделенного элемента стержня с длиной dz постоянна и равна значению плотности в некоторой точке этого элемента с координатами (x, y, z) –
. Объем этого элемента равен произведению 
, а масса приближенно равна 
.
Для определения массы рассматриваемого стержня следует «просуммировать» массы всех таких элементов. В результате получим
.
Рис. 1
Интегрирование ведется от точек входа в тело (они лежат на поверхности 
до точек выхода из него (они лежат на поверхности 
. При выполнении этой операции координаты 
и элемент 
постоянны. Чтобы получить массу тела 
, нужно «просуммировать» массы стержней, которые составляют тело 
. Сумма их проекций на плоскость 
составляет плоскую область 
. Таким образом,
.
Сравнивая выражение, полученное для вычисления массы тела, с формулой (1) , находим
.
Если плоская область 
– правильная, например, в направлении оси 
, получаем
.
Интеграл, стоящий в правой части равенства называется трехкратным. Из формулы следует, что вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному интегрированию функции 
по всем переменным. В рассмотренном случае вначале вычисляется внутренний интеграл по переменной 
, затем средний – по переменной 
и, наконец, внешний – по переменной 
. В общем случае пределы во внешнем и среднем интегралах расставляются по плоской области 
, которая является проекцией пространственной области 
на одну из плоскостей координат. Для определения пределов интегрирования во внутреннем интеграле достаточно через любую точку области 
провести перпендикулярную к ней прямую и найти точки пересечения ее с поверхностью, ограничивающей 
(в рассматриваемом случае это 
и 
). Если для любой точки 
, то функции 
и 
являются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования во внутреннем интеграле.
Замечание 1. Если область 
не является правильной ни в одном направлении, ее разбивают на сумму областей, правильных в каком-либо направлении; тогда интеграл будет равен сумме интегралов по составляющим областям.
Замечание 2. Фигуру 
можно проектировать не на плоскость 
, а на любую другую координатную плоскость при соблюдении соответствующих условий. При этом будут меняться порядок и пределы интегрирования в трехкратном интеграле.
