Модель прогнозирования на товары длительного пользования с помощью логистической кривой
По данным статистики спрос на многие товары с течением времени возрастает, сначала медленно, затем быстро и, наконец, замедляется по мере насыщения. Это значит, что скорость увеличения спроса прямо пропорциональна обеспеченности и насыщению товаром.
Для построения модели введем следующие обозначения:
– текущее время;
– обеспеченность товаром ( удельный вес семей или людей, владеющих данным товаром);
– насыщенность товаром ( предельное значение обеспеченности товаром);
- коэффициент пропорциональности.
Тогда зависимость обеспеченности товаром от времени выражается дифференциальным уравнением 
, то есть скорость увеличения обеспеченности 
пропорциональна величине обеспеченности товаром 
и необеспеченности 
Отсюда следует, что при малых и больших значениях 
, скорость обеспеченности 
будет малой.
Коэффициент 
и насыщаемость 
определяются следующим образом. Пусть имеются статистические данные 
за прошлые годы 
= 1,2,...,m. Тогда дифференциальное уравнение 
перепишем в виде:
=
. Принимая 
=1 и обозначая 
=
и K=k, получим: 
. Для определения 
и k используем метод наименьших квадратов по точкам
= 1,2,...,m и получим зависимость для 
. По правилам нахождения экстремума функции получим: 
.
Сформируем систему нормальных линейных уравнений:
Решая эту систему, определяем 
и k, а затем находим 
Для определения 
Решаем дифференциальное уравнение 
=Kdt. Решение получаем в виде логистической функции 
, в которой 
и 
были ранее определены по методу наименьших квадратов.
Для нахождения постоянной интегрирования 
можно потребовать, чтобы функция проходила через последнюю точку m, то есть выполнялось условие 
. Решая это уравнение относительно 
, получим 
. Окончательно получим зависимость спроса на товар от времени: 
Прогнозы спроса получают при подстановке в эту формулу значений 
