Сочетания

Сочетания:

Для участия в первенстве университета по легкой атлетике необходимо составить команду из 5 человек. Сколькими способами это можно сделать, если имеется 7 бегунов?

Решение задачи:

Т. к. имеются 7 человек, а в выборе участвуют 5 (т. е. часть элементов) и порядок выбора не важен, то это сочетания.

Применим формулу сочетаний: . Получаем, .

Ответ. 21

Компания из двадцати мужчин разделяется на три группы, в первую из которых входят 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами они могут это сделать?

Решение задачи:

Из 20-ти элементов необходимо сделать три выборки, причем порядок внутри выборок значения не имеет. Поэтому используем формулу для сочетаний. Чтобы выбрать из 20-ти элементов 3, существует С способов. Остается 17 элементов, из которых выбирается 5 элементов - С способами. Остается 12 элементов, из которых выбирается 12 элементов. Это можно сделать С= 1, т. е. одним способом. Используя принцип произведения, получаем: С С С.

Ответ: С С С.

Сколько существует способов выбрать 3 согласных и 2 гласных буквы из букв слова «уравнение»?

Решение задачи:

Уравнение: 3 согласных и 4 гласных буквы. Чтобы посчитать количество требуемых пятибуквенных слов, необходимо посчитать количество сочетаний 3 согласных из 3-х заданных и двух гласных из четырех заданных: С и С.

Ответ: СС

Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разделить на две группы так, чтобы в одной группе было 4, а в другой - 11 человек?

Решение задачи:

Чтобы разделить эту группу, достаточно выбрать 4 человека из 15, а оставшиеся сами образуют другую группу. А выбрать 4 человека из 15 можно С154 способами.

Ответ: 1365

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и картошка. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение.

Задача сводится к выбору мест для 7 пирожных. Особенность в том, что они могут повторяться. Пусть заданы два числа: — число выбираемых элементов, и — число типов элементов, из которых производится выбор. Число сочетаний с повторениями из элементов типов равно числу способов выбора мест для собственно выбираемых элементов различных классов. , т. е. С107

Ответ: 120

Размещение:

Из 7 человек надо выбрать 5 человек и разместить их на пяти занумерованных стульях (по 1 человеку на стуле). Сколькими способами это можно сделать?

Решение задачи:

Т. к. имеются 7 человек, а в выборе участвуют 5и порядок следования элементов имеет значение, т. к. стулья пронумерованы, то это размещение. Воспользуемся формулой размещений: .

Ответ. 2520

Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова «сапфир» так, чтобы они начинались с буквы «с» и оканчивались буквой «р»?

Решение задачи:

На первое место поставить букву «с» можно только одним способом. На последнее место поставить букву «р» можно тоже только одним способом. Остаются 4 буквы, которые необходимо разместить по двум местам: А.

Ответ: 12

Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 дисциплин.

Решение задачи:
Размещение по 5 из 11 элементов, т. к. необходимо учитывать порядок следования уроков.

Ответ: 55440

Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"?

Решение задачи:

Порядок элементов существенен, т. к. если поменять местами «красный» и «жёлтый» на двух светофорах, то ситуация на дороге будет другой. Также элементы могут повторятся, поэтому применяем формулу размещений с повторениями из 3 по 6:

Ответ: 729

Сколько восьмибуквенных последовательностей можно составить из 2х определённых букв?

Решение задачи:

Допустим, что существует 2 каких-либо символа, из которых, по условию задачи необходимо составит последовательность. При этом порядок символов существенен и они должны повторятся. Значит, это - размещения с повторениями из 2 по 8 букв.

Ответ: 256

Перестановки:

Сколькими способами могут восемь человек встать в очередь к театральной кассе?

Решение задачи:

Существует 8 мест, которые должны занять 8 человек. На первое место может стать любой из 8 человек, т. е. способов занять первое место – 8. После того, как один человек стал на первое место, осталось 7 мест и 7 человек, т. е. 7 способов занять второе место и т. д. Т. е. это перестановка 8 элементов. Применим формулу перестановок: Pn=n!

Ответ: 40320

Сколькими способами можно разместить на странице 5 различных заметок?

Решение задачи:

Т. к. имеются 5 заметок, и все они участвуют в выборе, то это перестановки. Получаем, P5= 5! = 120.

Ответ. 120

Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке?

Решение задачи:

Каждая расстановка будет отличаться порядком следования книг - перестановка из семи элементов. Р7 = 7!= 5040.

Ответ: 5040

Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв слова «перестановка»?

Решение задачи:

Перестановка: 12 букв, из них повторяются 2 буквы «е» и две буквы «а». Число перестановок из 12 элементов вычисляется с помощью формулы, но среди этих перестановок будут повторяющиеся, в которых буквы «е» или «а» меняются местами. Поэтому используется формула для перестановок с повторениями:

= .

Ответ: 119 750 400

У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней она выдает сыну по одному фрукту. Сколько может быть вариантов такой выдачи?

Решение. Последовательности выдачи имеют один и тот же состав и отличаются только перестановкой элементов, поэтому применяем формулу числа перестановок с повторениями .

Ответ: 1260

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. Р. Е. АЛЕКСЕЕВА

ИНСТИТУТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА "ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ"

Дисциплина "Дискретная математика"

Расчётная работа

Тема: "Комбинаторика"

Выполнил:

студент группы: 10-В-1

Проверил:

Нижний Новгород

2011