Задание 1

Задание 1

Упростить уравнение и построить кривую: 9x2 + 16y2 – 40x + 30y = 0.

Решение

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную х в одну скобку, а слагаемые с переменной у – в другую:

.

Выделим в первой скобке полный квадрат разности, а во второй – квадрат суммы:

;

;

- уравнение эллипса с полуосями а=8425/1296, b=8425/2304 и центром симметрии в точке (20/9, - 15/16). Построим эллипс:

Ответ: - эллипс.

Задание 2

Даны векторы: ; ; . Вычислить .

Решение

Вычислим смешанное произведение векторов по формуле:

;

.

Ответ: .

       Задание 3

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и  , где и угол между и  равен 300

Решение

Найдем векторное произведение векторов и :

Вычислим площадь параллелограмма: .

Ответ: S=1,5.

Задание 4

Даны уравнения двух медиан треугольника x – 2y + 1 = 0 и y – 1 = 0 и одна из его вершин (1,3). Составить уравнения его сторон.

Решение

Построим схематично треугольник АВС:

АК и ВМ – медианы треугольника АВС. Пусть АК задана уравнением х-2у+1=0, ВМ – уравнением у-1=0, точка О – точка пересечения медиан АК и ВМ. Так как точка (1, 3) не лежит ни на одной из указанных медиан, то эта точка задает вершину С(1,3). Найдем координаты точки О:

, итак О(1, 1).

Свойство медиан треугольника: медианы треугольника пересекаются в одной точке и длятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Таким образом, точка О делит отрезок АК в отношении 2:1, считая от точки А.

, , точка К – середина ВС, т. е. , , следовательно .

Так как точка В лежит на прямой у=1, то она имеет координаты В(; 1), точка К – середина ВС, следовательно К(; 2). Точка К лежит на медиане АК, заданной уравнением х-2у+1=0, следовательно , итак, К(3; 2), тогда точка В имеет координаты (5; 1).

; ⇒ А(-3; -1).

Составим уравнения сторон треугольника АВС:

АВ: ⇒ ⇒ 4у+4=х+3 ⇒ 4у-х+1=0.

ВС: ⇒⇒ 2у-2=5-х ⇒2у+х-7=0.

АС: ⇒ ⇒ у-х-2=0.

Ответ: АВ: 4у-х+1=0; ВС: 2у+х-7=0; АС: у-х-2=0.

Задание 5

  Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярной прямой .

Решение

Искомая прямая лежит в плоскости б, перпендикулярной прямой .  Составим уравнение плоскости б: Ах+Ву+Сz+D=0. A, B,C, D найдем из условия перпендикулярности прямой и плоскости: . Положим А= - 2, В= - 5, С= 3, D=0. Тогда б: -2х-5у+3z=0. Найдем точку М - пересечения плоскости б с заданной прямой . Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

. Определим t: -2(-2t+1)-5(-5t-2)+3(3t-4)=0,

4t-2+25t+10+9t-12=0,

38t-4=0,

t=2/19. Подставим полученное значение t в параметрические уравнения прямой, получим координаты точки М.

Составим уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку М:

.

Ответ: .

Задание 6

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

параллельно прямой .

Решение

Составим канонические уравнения заданных прямых.

.

Сложим уравнения системы, получим 3х+у-8=0 ⇒ ;

, умножим первое уравнение на 2 и после этого сложим уравнения системы, получим 5х+z-11=0 ⇒ ;

, т. е. .

Запишем уравнение прямой с помощью уравнений двух плоскостей, проецирующих ее соответственно на плоскости ХОУ и УОZ:

,  или -3у+2х+1=0;

, или  у+2z+3=0.

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через эту прямую, имеет вид

-3у+2х+1+б(у+2z+3)=0,

2х+(б-3)у+2бz+1+3б=0.

Используя условие параллельности прямой и плоскости, определим б так, чтобы соответствующая плоскость пучка была параллельна второй из заданных прямых.

-1⋅2+3⋅(б-3)+5⋅2б=0;

-2+13б-9=0;

13б=11 ⇒ б=11/13.

Составим уравнение искомой плоскости:

;

26х-28у+22z+46=0;

13х-14у+11z+23=0 – уравнение плоскости, проходящей через прямую

параллельно прямой .

Ответ: 13х-14у+11z+23=0.

Задание 7

Исследовать и решить систему трех уравнений с помощью матричного исчисления: , а также методом Гаусса и по формулам Крамера.

Решение

Решим систему матричным методом.

, составим основную матрицу системы уравнений и вычислим ее определитель:

- основная матрица, , так как определитель матрицы А не равен нулю, то система уравнений имеет единственное решение.

Составим матрицы Х и В: - матрица неизвестных, - матрица, состоящая из свободных членов уравнений. Запишем систему уравнений в матричном виде: АХ=В, отсюда - решение системы, где - обратная матрица для А.

.

Найдем алгебраические дополнения матрицы А:

; ; ;

; ; ;

; ; .

- обратная матрица для А.

Найдем решение системы:

Итак, х= - 3, у=0, z= - 0,5.

Решим систему методом гаусса. Запишем расширенную матрицу системы уравнений и с помощью строчных элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Умножим первую строку на 7, а вторую на 2 и после этого вычтем из второй строки первую. Затем умножим третью строку на 2 и вычтем из нее первую.

~

Умножим вторую строку на (-3) и затем прибавим ее к третьей строке:

~~

Умножим последнюю строку на 1/70:

~~~

~.

Запишем систему уравнений, соответствующую полученной ступенчатой матрице и решим ее путем обратного хода, т. е. двигаясь от последнего уравнения к первому.

Решим систему методом Крамера.

- основная матрица системы уравнений.

Заменим в матрице А первый столбец на столбец свободных членов и вычислим определитель полученной матрицы:

, ;

, ;

, ;

Ответ: х = - 3, у = 0, z = - 0,5.

Задание 8

Построить тело, ограниченное поверхностями: z = 0,  z = 2x,  x + y = 3,

x = .        

Решение

Построим все поверхности в одной системе координат:

z=0 – плоскость ХОУ; z = 2x – плоскость, проходящая через начало координат; x + y = 3 – плоскость, пересекающая ось ОХ в точке (3;0), ось ОУ -  в точке (0;3). x = ⇒ у=2х2 (х≥0).