Размещения и сочетания

Размещения и сочетания

Размещения

Рассмотрим следующую задачу.

Задача. 9 карточек пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из этих карточек четыре наугад взятых карточки выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных четырехзначных чисел?

Решение. Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое.

На первое место можно положить одну из 9 карточек. Для этого есть 9способов. В каждом из этих 9 способов на второе место можно положитьодну из оставшихся 8 карточек. Таким образом, существует

способа, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих 72 способов на третье место можно положить одну из оставшихся 7карточек. Следовательно, существует

способа, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих 504 способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся 6 карточек. Отсюда вытекает, что существует

различных способа, чтобы выложить в ряд 4 карточки из набора, состоящего из 9 пронумерованных карточек. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить 3024 различных четырехзначных числа.

Ответ: 3024.

При решении задачи мы провели подсчет числа способов раскладывания карточек, который является частным случаем общего метода подсчета числа размещений и заключается в следующем.

Определение 1. Рассмотрим множество, содержащее n элементов, и все его упорядоченные подмножества, содержащие k элементов. Каждое из этих подмножеств называют размещением из n элементов по k элементов.

Если обозначить символом число размещений из n элементов по k элементов, то будет справедлива формула:

(1)

В соответствии с определением факториала, формулу (1) можно также записать в виде:

В задаче множеством из n элементов является исходный набор из 9пронумерованных карточек, а упорядоченным подмножеством из k элементов - 4 карточки, выложенные в ряд.

Таким образом, при решении задачи мы на частном примере подсчитали, чему равно число размещений из 9 элементов по 4 элемента, т. е. число

В соответствии с формулой (1),

что и было получено в задаче.

Замечание 1. Введенные в данном разделе размещения также называютразмещениями без повторений.

Замечание 2. Из формул для числа перестановок и числа размещений вытекает формула

смысл которой заключается в следующем.

Утверждение. Размещение из n элементов по n элементов является перестановкой из n элементов.

Сочетания

Определение 2. Рассмотрим множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называют сочетанием из n элементов по k элементов.

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом

Замечание 3. Важно отметить, что, в отличие от определенияразмещений, рассмотренные в определении сочетаний подмножества, содержащие k элементов, не являются упорядоченными. Поэтому, если в каждом подмножестве, содержащем k элементов (из определения 2), совершить всевозможные перестановки, количество которых равно k! , то мы получим все размещения.

Таким образом, справедлива формула:

Следовательно,

откуда вытекает формула

(2)

Теперь рассмотрим несколько примеров подсчета числа сочетаний, которые непосредственно вытекают из формулы (2):

В заключение приведем часто используемое равенство, также непосредственно вытекающее из формулы (2):

Замечание 4. С разделом справочника «Сочетания» близко связанраздел «Бином Ньютона», где приведены и доказаны свойства чисел сочетаний.