Факультет Бизнеса
Направление «Экономика»
3-й семестр
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
1. Введение
Понятие функции является одним из основных в математике. При решении многих задач возникает задача приближения функций. Простой прием, который приводит к приближению функций: её заменяют на «сеточную» функцию, и по известным (наблюденным) значениям восстанавливается значения функции при других значениях аргумента. Напомним, что «сеточная» функция – это таблица вида:
|
| . . . |
f( | f( | . . . |
)
)Еще один известный прием: функцию приближают функциями определенного вида, например многочленами. Ниже мы займемся, в основном, названными приемами.
2. Задача интерполяции функции
Напомним, под интерполяцией понимаем следующее: по заданным нескольким дискретным точкам внутри промежутка нужно приближенно построить функцию. Под экстраполяцией же понимаем следующее: по заданным нескольким дискретным точкам нужно восстановить функцию вне промежутка.
Здесь мы будем рассматривать интерполяцию как способ приближения функций. Отметим, что интерполяция является важным аппаратом при решений таких задач, как: численное интегрирование, решения дифференциальных уравнений и т. д.
А. Рассмотрим ряд Тейлора:
,
где 
= 
и 
.
Напомним, смысл ряда Тейлора заключается в следующем: находясь в точке 
, нужно узнать, что произойдет с функцией f в точке x, т. е. какое значение она примет. При решении этого вопроса возникает погрешность: чем дальше мы находимся от точки 
, тем больше погрешность.
Пример. Пусть 
. Обозначим 
. Предположим, что 
= 0, тогда последовательно мы определим:
= 
=1+x;
= 
= 1+ 
;
= 
= 1+ 
; и т. д.
Как мы видим, в первом приближении функцию f можно заменить касательной; во втором приближении – параболой и т. д. Чем больше n, тем ближе кривая 
приближается к кривой f. (рис).
Б. Рассмотрим многочлены Лагранжа.
Пусть функция f задана таблицей:
|
|
| . . . |
|
f( | f( | f( | . . . | f( |
)
)
)
)Нужно построить кривую, проходящую через эти точки. Будем искать многочлен Лагранжа в следующем виде:
, (*)
где 
и 
.
Отсюда, используя (*) найдем А. Поскольку
…,
т. е.
= 1, отсюда получаем, что 
.
Теперь, 
= 
. Используя это получим многочлен Лагранжа: 
.
Упражнение. Рассмотрим функцию 
, где 
. Построить 
, если
|
|
| . . . |
|
f( | f( | f( | . . . | f( |
)
)
)
)где 
.
3. Численное интегрирование
Данный алгоритм позволяет взять любой интеграл. Для простоты возьмем непрерывную функцию 
.
1). Первая формула прямоугольников
Рассмотрим интеграл 
. Как нам известно, данный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
Разобьем отрезок [a, b] на непересекающиеся промежутки: 
, 
,…, 
. Тогда первая формула прямоугольников выглядит так:
= 
,
где 
, k = 1,2,…,n-1, 
, .
Заметим, что чем меньше h, тем больше точность вычислений.
2). Вторая формула прямоугольников
Аналогично 1) разобьем отрезок [a, b]. Тогда вторая формула прямоугольников выглядит так:
= 
,
где 
.
3). Третья формула прямоугольников
Аналогично 1) разобьем отрезок [a, b], и возьмем середины отрезков: 
при k = 0,1,…,n-1. Тогда третья формула прямоугольников выглядит так:
= 
,
4). Формула трапеций
Аналогично 1) разобьем отрезок [a, b]. Тогда формула трапеций выглядит так:
= 
.
5). Формула Симпсона
Разобьем отрезок [a, b] на непересекающиеся промежутки: 
, 
,…, 
. Тогда формула Симпсона выглядит так:
= 
,
где 
.
Упражнение. Рассмотрим функцию f(x) = 3sinx на отрезке [0,π].
При h= π/6 вычислите 
по вышеприведенным формулам.
4. Численное решение задачи Коши
для обыкновенных дифференциальных уравнений
Пусть имеется некоторая функция y = y(x). Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка n:
(*) 
,
которое решено относительно старшей производной. Рассмотрим начальные условия (условия Коши):
(**) 
Тогда задача Коши имеет решение и оно единственное. Решением является функция y = y(x), которая удовлетворяет уравнениям (*) и условиям (**).
Рассмотрим три метода решения задачи Коши.
1). Метод степенных рядов
Решение y = y(x) представляем в виде ряда Маклорена и используя начальные условия получаем:
Остается теперь найти 
. Поскольку 
, то подставляя в F начальные условия (**) находим 
.
Далее, дифференцируя 
получим:
Подставляя сюда x = 0 и используя начальные условия получаем 
и прибавляем в ряд еще один член и т. д.
Пример. Пусть 
(*) и начальные условия : 
(**).
Представляем решение в виде ряда
+…
Найдем 
: 
= 0·1 – 0 = 0, следовательно 
. Далее, 
. Отсюда 
. Тогда 
. Мы можем найти и 
= 
= 
. Отсюда получаем 
= 0, следовательно 
.
2). Метод последовательных приближений
Представим задачу Коши в таком виде:
Проинтегрируем уравнение по x:
= 
.
Как известно, левая часть равна y(x) - y(0), следовательно
y(x) - y(0) = 
,
или y(x) = y(0) + 
= 
+ 
.
Тогда
= 
+ 
, 
= 
+ 
, … ,
= 
+ 
,
Пример. Рассмотрим систему 
. Как показано выше
= 
+ 
= 1 + 
= 1 – x + 
,
= 1 + 
= 1 + 
= 1-
,
= 1 + 
= 1 + 
=
= 1- 
.
3). Метод Эйлера
Разобьем ось Ox на промежутки длины h: 
, i = 0,1,… Ординаты точек с абсциссами 
обозначим через 
. Далее, заменим в системе 
производную 
разностным уравнением (разностным аналогом производной)
Тогда получим: 
. Вычислим:
,
; и т. д.
Пример. Рассмотрим систему 
. Пусть h = 0,1, тогда 
. Как показано выше, вычислим последовательно:
= 1,1 ;
= 1,23 …. и т. д.
5. Краевые задачи
для обыкновенных дифференциальных уравнений
Приведем численные методы решения таких задач.
1). Метод конечных разностей
Рассмотрим функцию 
и её сеточный аналог – пусть она задана в некоторых узлах: 
. Напомним, что 
. Определим 
- правая (односторонняя) производная в точке 
; 
- левая (односторонняя) производная в точке 
; 
- двусторонняя производная. Подсчитаем сеточной аналог второй производной: 
, а именно
- правая вторая производная в точке 
,
- левая вторая производная в точке 
;
- центральная вторая производная в точке 
.
Рассмотрим уравнение второго порядка (задачу Коши):
где A и B – заданные числа, 
- постоянные, a и b – границы промежутка. Разобьем промежуток [a, b] на n частей с длиной каждой части 
. Обозначим точки деления: 
, где i=0,1,…n и 
. Далее, обозначим 
.
Рассмотрим сначала внутренние точки, т. е. 
. Запишем для них центральные (двусторонние) разности и аналоги для производных и подставляем в уравнение:
и т. д. до i = n-1. Получим систему из (n-1) уравнений c (n+1) неизвестными: 
.
Теперь рассматриваем граничные точки 
. В точке 
запишем в уравнение правую производную:
.
В точке 
запишем в уравнение левую производную:
.
Теперь, у нас имеется система из (n+1) уравнений c (n+1) неизвестными. Решив эту систему, найдем 
.
Пример 1. Рассмотрим систему:
.
Разобьем отрезок [0,4] на 4 частей с длиной h = 1. Напомним, здесь 
. Составим систему:
.
.
Решив эту систему, мы получим решение (проверьте самостоятельно): 
.
Пример 2. Рассмотрим систему:
.
Разобьем отрезок [0,4] на 4 частей с длиной h = 1. Напомним, здесь. Составим систему:
.
Решив эту систему, мы получим решение (проверьте самостоятельно): 
.
6. Линейные дифференциальные уравнения
II порядка в частных производных
Рассмотрим следующий оператор:
. (1)
Этот оператор удовлетворяет условию линейности, т. е. 
.
Рассмотрим определитель: 
.
Если D > 0, то (1) – является уравнением эллиптического типа; если D = 0, то (1) – уравнение параболического типа; если же D < 0, то (1) – уравнение гиперболического типа.
Рассмотрим уравнение эллиптического типа. Как пример, рассмотрим уравнение Лапласа: 
. Здесь A=1, B=0, C=1, следовательно получим D = 1·1 - 0 = 1 > 0. Далее, рассмотрим краевую задачу: пусть Δ - рассматриваемая область и ∂Δ - граница этой области. Тогда получим так называемую задачу Дирихле:
Решим задачу Дирихле методом сеток. Приведем алгоритм: разобьем область Δ на прямоугольников. Приблизим границу области квадратной сеткой. Границу «новой» области 
обозначим через ∂
. Теперь рассмотрим интегрируемую функцию u и заменим сеточной функцией: 
. Предположим, что функция u определена только в точках сетки. Тогда
, 
.
Подставляем в уравнение Лапласа и получаем:
.
ЛИТЕРАТУРА
. Численные методы. М., 1975. 632 стр. . Введение в численные методы, Часть 1.