Теория вероятности

В настоящее время элементы статистики и теории вероятностей включены в государственный стандарт основной школы. Решение комбинаторных задач способствует развитию логического мышления, расширению кругозора, формированию математической культуры учащихся, возможности использования математических методов и технологий статистической обработки в различных исследованиях.

Теория вероятности – очень сложный предмет, если рассматривать отдельно.

Но на ЕГЭ надо знать только самые основные понятия теории вероятностей. Если дети их будете понимать, то и задача покажется лёгкой.

1. Случайное событие (СС)- это событие, которое либо произойдёт, либо нет.

В жизни мы постоянно сталкиваемся со случайными событиями.

Примеры:

Вы купили лотерейный билет. Он либо выигрышный, либо нет. Случайное событие - выигрыш. Оно может произойти, а может и нет. Вы подбросили монету. Выпадение орла - случайное событие. Выпадение решки тоже случайное событие. Студент сдаёт экзамен. Выпадение определённого билета – случайное событие. Сдаст или не сдаст тоже случайное событие. и т. д.

2. Каждое случайное событие (СС) иметь свою вероятность произойти (сбыться, реализоваться).

Каждый, думаю, понимает интуитивно, что такое вероятность. Одно событие может произойти со 100%-ой вероятностью, другое почти с нулевой и т. д.

Примеры:

Вероятность восхода солнца рано утром = 100%, Вероятность выпадения восьмёрки на игральной кости (кубике) = 0%, т. к. 8-рки нет на кубике. А вероятность, что изделие бракованное – может принимать любое значение (от 0 до 1). Это зависит от условий. Вот такие вероятности и будем находить в дальнейшем.

3. Испытание – любое действие, которое может привести к одному или нескольким результатам.

4. Исход - конечный результат испытания. Значит испытание может иметь один или несколько исходов.

Например:

Бросаете монету – это испытание. Исходы – орёл, решка. Подбросили кубик (иногда называют игральной костью) – это испытание. Выпасть может 1, 2, 3, 4, 5 или 6 – это исходы.

5. Благоприятный исход - желаемый исход.

Примеры:

Бросаете монету. Хочу, чтобы выпала решка, => благоприятный исход = выпала решка. Значит выпадение орла – неблагоприятный исход. Сдаю экзамен. Из 20 билетов 10 знаю на отлично, 5 на хорошо, 3 на удовлетворительно и 2 не знаю. Хочу сдать на хорошо. Тогда благоприятный исход = сдать на хорошо. А какова вероятность сдать на хорошо? Ответ: 5/20=1/4. Почему? Подробности ниже.

Какова же связь между этими понятиями?

ЗАПОМНИ:

Эта формула называется классической формулой вероятности или классическим определением вероятности. Где:

Р(А) - вероятность события А. m – число (количество) благоприятных исходов, n – число (количество) всех исходов. ПРАВИЛО: Вероятность всегда равна от 0 до 1. Ни меньше, ни больше!

Рассмотрим тот же пример:

Сдаю экзамен. Из 20 билетов 10 знаю на отлично, 5 на хорошо, 3 на удовлетворительно и 2 не знаю. Хочу сдать на хорошо. Тогда благоприятный исход = сдать на хорошо. А какова вероятность сдать на хорошо?

Решение:

m = 5. n =20. Значит Р(А) = 5/20 = 0,25. Аналогично, можно найти вероятность сдать экзамен на отлично: Р(А1) = 10/20 = 0,5. вероятность сдать экзамен на удовлетворительно: Р(А2) = 3/20 = 0,15. вероятность не сдать экзамен: Р(А3) = 2/20 = 0,1.

Заметьте, ответы представлены в десятичной дроби, потому что в бланках ЕГЭ, надо писать в десятичном виде (если не указано иное).

Классическая формула вероятности – самая главная и основная. Но бывают затруднения в нахождении n и m.

В этом случае надо знать элементы комбинаторики.

1. Теорема о перемножении шансов: Пусть множество А состоит из k элементов, а множество B — из m элементов, тогда можно образовать ровно km пар, взяв первый элемент из множества A, а второй — из множества B.

т. е. если первый элемент можно выбрать k способами, а второй элемент — m способами, то пару элементов можно выбрать km способами.

Примеры:

При подбрасывании трёх монет возможно 2·2·2=8 различных результатов. Т. к. первая монета принимает 2 результата (орел или решка), вторая тоже два, и третья также два результата. бросая дважды игральную кость, получим 6·6=36 различных результатов. Объяснить самостоятельно.

2. Выборы шариков из урны (или кубиков из ящика, или карточек из коробки, или книг с полки, или изделий из партии, или номер при жеребьёвке и т. д.):

Есть урна (ящик), содержащая n пронумерованных объектов (шаров). Мы выбираем из этой урны k шаров;
результатом выбора является набор из k шаров. Нас интересует, сколькими способами можно выбрать k шаров из n, или сколько различных результатов может получиться?

На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не определимся:

а) с тем, как организован выбор: можно ли шары возвращать в урну, и

б) с тем, что понимается под различными результатами выбора: учитывается или нет порядок.

Рассмотрим следующие возможные способы выбора:

1) Выбор с возвращением: каждый вынутый шар возвращается в урну, каждый следующий шар выбирается из полной урны. Таким образом, в полученном наборе из k шаров могут встречаться одни и те же.

1.1) Выбор с учётом порядка: например, при выборе трёх шаров из 5, лежащих в урне, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) различны, если порядок учитывается.

1.2) Выбор без учёта порядка: т. е. наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Например, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается.

2) Выбор без возвращения: вынутые шары в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же шары.

2.1) Выбор с учётом порядка: например, при выборе трёх шаров из 5, лежащих в урне, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) различны, если порядок учитывается.

2.2) Выбор без учёта порядка: т. е. наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Например, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается.

Шпаргалка:

Символ n! ( называется факториал ) – сокращённая запись произведения: 1 · 2 · 3 · … · ( n – 1 ) ·n.

Подробнее о шпаргалке:

Размещением k элементов из n (из n элементов по k) называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение по k элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.

Перестановка: возьмём n различных элементов: a1 , a2 , a3 , …, an. Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения. Каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается Pn. Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n.

Сочетание без повторений: число способов выбрать m элементов из n различных элементов (m≤n) без упорядочения.

Сочетание с повторениями: число способов разместить m одинаковых элементов (предметов) в n ячейках (ящиках).

А сейчас давайте рассмотрим решение некоторых задач:

В секции айкидо занимаются 10 юношей и 4 девушки. Из них два юноши и одна девушка имеют 1 дан. Для проведения спаррингов во время тренировки жеребьевкой выбираются 1 юноша и 1 девушка. Какова вероятность, что оба выбранных спортсмена будут иметь первый дан?

2/10*1/4=1/20=0,05

В шестом классе учатся 28 человек. Из них 6 учащихся занимаются плаванием, а 4 учащихся - фехтованием, причем 3 занимаются и плаванием, и фехтованием одновременно. Какова вероятность, что случайным образом выбранный шестиклассник из этого класса занимается плаванием или фехтованием.

6+4-3=7  7/28=1/4=0,25

Найдите вероятность выпадения четного числа очков при подбрасывании игрального кубика.

Общее число исходов-6

Число благоприятных исходов-3 (2,4,6)

3/6=0,5

Подбрасываются две монеты. Найдите вероятность того, что на обеих выпадает герб.

Общее число исходов-4

Число благоприятных исходов-1

  1/4=0,25

Из пяти отрезков, длины которых равны 2,3,5,10 и 12 см, наугад выбирается один. Найдите вероятность того, что длина этого отрезка окажется более 5 см.

Общее число исходов-5

Число благоприятных исходов-2

2/5=0,4

В ящике находится 10 одинаковых по форме шаров, среди которых имеются 5 белых, 3 черных и 2 зеленых. Найдите вероятность того, что вынутый наугад шар не окажется зеленым.

5+3=8

8/10=0,8

В ящике находится 20 одинаковых по форме шаров, среди которых имеются 2 синих, 5 белых, 9 красных и 4 зеленых. Найдите вероятность того, что вынутый наугад шар окажется белым или красным.

5+9=14

14/20=0,7

Подбрасывают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной 4. Ответ, используя правило округления представьте в виде десятичной дроби, содержащей три значащие цифры.

Общее число исходов-36

Число благоприятных исходов-3

  3/36=1/12=0,0833

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите  вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

25-2=23

23/25=92/100=0,92

На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

4+8+3=15

3/15=1/5=0,2

Доля  брака в производстве процессоров составляет  0,05%. С какой вероятностью процессор только что купленного компьютера  окажется исправным?

0,05%=0,0005

1-0,0005=0,9995

Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?

Общее число исходов-7

Число благоприятных исходов-3

  3/7

Подбрасывают два кубика, какова вероятность, что оба числа окажутся меньше 5?

Общее число исходов-36

Число благоприятных исходов-16

11  12  13  14

  21  22  23  24

  31  32  33  34

  41  42  43  44

  16/36=4/9

В ящике 3 красных и 3 синих шара. Из него, не глядя, вытаскивают друг за другом два  шара. Какова вероятность, что они буду одного  цвета?

  Общее число исходов - 6*5=30

Число благоприятных исходов-6*2=12

12/30=2/5=0,4 

или

После того как вытащили 1 шар, второй того же цвета можно вытащить с вероятностью 2/5

Карточка с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 перемешивают и выкладывают в ряд.  Какова вероятность, что получится четное число?

  Последняя цифра должна быть четной, находим вероятность выпадения  четной цифры

  2/5

Буквы слова АКТЕР перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд. С какой вероятностью при  этом получится слово ТЕРКА.

Общее число исходов - 5*4*3*2=120

  Число благоприятных исходов-1

  1/120

Буквы слова Кубик перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд. С какой вероятностью получится это же самое слово?

Общее число исходов - 5*4*3*2=120

  Число благоприятных исходов-2

  так как две буквы К.

  2/120=1/60

Два человека садятся в электричку, в которой 8 вагонов. С какой вероятностью они окажутся в разных вагонах, если каждый из них выбирает вагон случайным образом?

  Пусть первый человек уже сел в один вагон, значит вероятность, того что второй сядет в другой вагон 7/8.

Одновременно бросают 3 монеты. С какой вероятностью выпадет хотя бы один орел? 

ООО  ООР  ОРО  ОРР  РОО  РОР  РРО  РРР

Общее число исходов-8

Число благоприятных исходов-7

7/8