Условие оптимальности в задаче оптимального управлении

               линейных сосредоточенных систем со специальным критерием качества

Вугар Салманов

Нахичеванский Государственный Университет (Азербайджан)

  В этой работе исследуется дифференцируемость функционала  и установливается необходимое и достаточное условие оптимальности в задаче оптимального управления для линейных сосредоточенных систем со специальным критерием качества, рассмотренным, например, в работах [1,2].

Пусть требуется минимизировать функционал

,                 (1)

на множестве при условиях

               ,         (2)

               ,                                                 (3)

где , – заданные числа, – заданные векторы, – заданный элемент, – -мерная матрица, – -мерная матрица, – вектор-столбец. Будем предполагать, что элементы матрицы и элементы матрицы измеримые и ограниченные функции на отрезке , а  . Пусть , .

При каждом под решением задач Коши (1.2), (1.3) будем понимать абсолютно непрерывные функции , удовлетворяю­щее интегральным тождествам:

,                         (4)

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

,                         (5)

для .

       Знаем, что задачи Коши (2), (3) имеют единственные решения непрерывных на отрезке и эти решения почти всюду имеют производные , принадлежащие пространству .

       Применяя лемму Гронуолла установлена справедливость оценок:

       ,                         (6)

       ,                                 (7)

для , где – некоторые постоянные, не зависящие от и доказана следующая теорема.

       Введем функцию Гамильтона-Понтрягина для задачи (1)-(3) в виде:

        

.         (8)

Здесь – решения задач Коши (1.2), (1.3), а являются решением следующей сопряженной системы

               ,                         (9)

               ,                         (10)

               ,                                                 (11)

где – есть транспонирование матрицы .

       Под решением сопряженной системы (9)-(11) понимаются функции , удовлетворяющие интегральным тождествам:

,                                 (12)

                                (13)

для . Используя эти соотношения нетрудно получить справедливость  неравенств

,         (14)

,         (15)

для , где – некоторые постоянные, не зависящие от . Применяя лемму Гронуолла из последних неравенств получим справедливость оценок:

, ,                 (16)

для , где – некоторая постоянная, не зависящая от и .

Используя оценки (6),(7) и (16) можем установить справедливость утверждения:

       Теорема 1 Функционал дифференцируем по Фреше и для его градиента справедливо выражение:

        ,  (17) 

где – есть транспонирование матрицы .

       Теперь укажем необходимое и достаточное условие оптимальности.

       Теорема 2. Тогда для того, чтобы из было оптимальным управлением в задаче (1)-(3) необходимо и достаточно выполнение условия:

,                                 (18)

где – решение сопряженной системы (9)-(11) при .

       Доказательство. Необходимость. Пусть из есть оптимальное управление. По теореме 1 на элементе функционал дифферен-цируем по Фреше и для его градиента в точке справедлива формула

               ,                 (19)

где – есть решение сопряженной системы (9)-(11) при .

       Теперь сначала докажем, что функционал непрерывно дифферен­ци­руем на множестве . С этой целью возьмем любое допустимое управление из и рассмотрим разность , где есть при-ращение элемента такое, что . Тогда в силу формулы (17) имеем:

               ,         (20) 

где является решением следующих интегральных уравнений

               ,                        

               .

Используя эти интегральные уравнения и лемму Гронуолла нетрудно получить справедливость неравенств

               ,                                 (21)

для , , где – постоянная, не зависящая от и . Отсюда в силу оценок (12) имеем:

               , , ,                         (22)

где – постоянная не зависит от и .

       Если использовать формулу (20), то имеем:

  ,         (23) 

где – постоянная не зависит от , , . Из последнего неравенства в силу оценок (23) получим справедливость неравенства:

               ,                 (24)

где – постоянная не зависит от . Это означает, что градиент функционала удовлетворяет условию Липшица с постоянной . Следовательно, градиент функционала непрерывно на любом элементе , то есть функционал непрерывно  дифференцируем по Фреше на множестве . Кроме того множество есть выпуклое множество пространства .

       Таким образом, выполнены все условия известной теоремы [3, стр. 28]. Тогда по утверждению этой теоремы имеем, что если – есть точка минимума функционала , то необходимо выполнение неравенства:

        .                         (25)

Учитывая в этом формулу (19), получим справедливость неравенства:

               ,                        

               .

Умножая это неравенство на , получим справедливость утверждения необходимости.

       Достаточность. Теперь предположим, что в точке выполнено неравенство (18). Тогда с учетом формулы (19) из (18) имеем

               . 

Умножая это на , получим справедливость неравенства (23) для точки . Докажем, что в этом случае будет точкой минимума функционала на множестве .

       Нетрудно установить, что функционал на множестве является выпуклым функционалом при . Тогда имеем

               

для . Учитывая в этом условию (23) получим неравенство:                        .

Это означает, что является точкой минимума функционала на множестве . Другими словами, является оптимальным управлением в задаче (1)-(3). Теорема 2 доказана.

Литература

, Оптимальное управление кванто-механической системой с критерием качества Лионса. // Изв. АНА. - Сер. физ.-тех. матем. наук. - 1995. - Т. XVI, №5-6. - с.30-35.

2.  Задача оптимального управления для линейных сосредото-

  ченных систем со специальным критерием качества. Вестник НИП, N, 2007.

3.  Методы решения экстремальных задач. - М.: Наука,1981