Призма с треугольником в основании
Задача
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 8 .Боковые ребра равны 8/ π. Найдите объем цилиндра описанного около этой призмы. 
Решение.
По теореме Пифагора, найдем квадрат гипотенузы треугольника, лежащего в основании.
72 + 82 = 113
Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
Таким образом, цилиндр, описанный около заданной призмы, будет иметь диаметр, равный гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы и высоту, равную высоте призмы. Таким образом, объем цилиндра составит:
V= π r2h, где
π - число пи
r - радиус основания цилиндра
h - высота цилиндра
Поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы одновременно является диаметром цилиндра, описанного вокруг призмы, то радиус цилиндра будет равен половине гипотенузы, то есть квадратный корень из 113 деленный пополам, а квадрат радиуса, соответственно равен r2=113/4.
По условию задачи высота ребра призмы равна 8/ π .
Таким образом:
V= π *113/4*8/ π
V=226
Ответ: 226
Задача
Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см. Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.
Решение.
Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть
S = 2S1 + S2 + 2S3 , где S1 - площадь основания призмы, S2 - площадь боковой поверхности, содержащей основание, S3 - площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы)
Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).
Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь.
S1 = 1/2ah = 1/2 * 12 * 8 = 48 см2 .
Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой 12 /2 = 6 см, с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора
√( 62 + 82 ) = 10 см
Таким образом
S2 = 12 * 12 = 144 см2 .
S3 = 10 * 12 = 120 см2 .
S = 2S1 + S2 + 2S3 = 2 * 48 + 144 + 2 *120 = 480 см2 .
Ответ: 480 см2.
Задача
Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна площади основания. Вычислите длину бокового ребра b, если сторона основания а=7см. 
Решение.
Площадь правильного треугольника, который является основанием правильной треугольной призмы, найдем по формуле:
S = a2√3 / 4
S = 49√3 / 4
Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы найдем по формуле
S = 3 ab
тогда
S = 3 * 7 * b = 21b
Таким образом,
49√3 / 4 = 21b
b = 49√3 / 84
b = 7√3 / 12
Ответ: 7√3 / 12
Задача
В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами AC=8см и BC=6 см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность равна 120 квадратных сантиметров. 
Решение.
Сначала найдем гипотенузу основания призмы.
AB2 = AC2 + BC2
AB2 = 82 + 62
AB2 = 64 + 36
AB = √100
AB = 10
Обозначим боковое ребро призмы как h. Боковое ребро одновременно является и высотой призмы, поскольку по условию задачи призма является прямой. Тогда площадь боковой поверхности призмы является суммой площадей трех прямоугольников - ACC1A1, CBB1C1 и ABB1A1 или, если подставить известные значения катетов основания призмы, то
10h + 6h + 8h = 120
24h = 120
h =5
Ответ: ребро прямоугольной призмы с прямоугольным треугольником в основании равно 5 см.
Задача.
Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120ᵒ между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2, найти площадь боковой поверхности. 
Решение.
Согласно теореме косинусов 
Откуда
AC2 = AB2 + BC2 - 2*AB*BC*cos 120ᵒ
AC2 = 25 + 9 - 2*5*3*cos 120ᵒ
Косинус 120ᵒ найдем по таблице значений тригонометрических функций.
AC2 = 34 - 30 (-0.5)
AC2 = 49
AC = 7
Каждая из граней боковой поверхности представляет собой прямоугольник. При чем длина одной из сторон прямоугольников одинакова и равна высоте призмы. Таким образом, боковая грань призны наибольшей площади лежит на той стороне основания, длина стороны которого наибольшая.
То есть наибольшая из боковых граней имеет длину основания 7 см.
Откуда высота призмы равна 35 / 7 = 5 см
Таким образом, площадь боковой поверхности будет равна сумме площадей каждой из боковых граней
S = 5*5 + 3*5 + 7*5 = 75 см2
Ответ: 75 см2 .
