Алтайский государственный технический университет
им.
Контрольная работа
по прикладной механике (сопромату)
Вариант 038
Выполнил: студент группы 4ЭТМ(с)-62
Проверил: к. т.н., доцент
г. Барнаул
2017 г.
Задача 1.1. Расчет стержня
Условие задачи:
Стержень, жестко закрепленный одним концом, состоящий из трех участков длиной l1…l3, и площадью А1…А3, находится под действием собственного веса и силы F, приложенной на координате lF. Материал стрежня – сталь Ст.3.
Требуется:
Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений у и перемещений д.
Исходные данные :
Таблица 1.1.1
l1 м | l2 м | l3 м | А1 см2 | А2 см2 | А3 см2 | F кН | lF | Расположение опоры |
1,1 | 1,0 | 1,0 | 40 | 20 | 40 | 70 | l1+ l2 | Вверху |
Справочная информация:
Удельный вес стали Ст.3: г = (77…79)Ч103 Н/м3.
Для расчетов принимаем удельный вес равным г = 78Ч103 Н/м3.
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для стали Ст.3: Е = 2Ч1011 Н/м2.
Указания:
Собственный вес стержня можно представить в виде распределенной нагрузки q1 = гЧА1. Ось z, направление силы F и нумерацию участков вести от опоры.
Решение:
1. В соответствии с исходными данными варианта вычерчиваем схему бруса (рис. 1.1).
2. Расчет ведем от свободного конца стержня, т. е. начиная с сечения 3-3 III-го силового участка.
Рассекаем стержень на силовом участке и отбрасываем часть стержня, содержащую опору (верхнюю часть).
Составляем уравнения равновесия отсеченной части стержня для нахождения продольной силы N, нормального напряжения у и удлинения стержня ∆l на силовом участке III.
2.1. Поскольку сила F на участке III не действует, то продольная сила N на этом участке представлена только весом стержня, который увеличивается по мере удаления от плоскости сечения 3-3. При этом зависимость величины продольной силы N от координаты z3 будет прямо пропорциональной, поскольку изменяется только координата, а площадь сечения А3 и плотность стали г остается неизменной по всему участку. Уравнение для продольной силы на участке:
N = q3Чz3 = гЧА1Чz3,
где q3 – вес отсеченной части стержня, представленный в виде распределенной нагрузки (Н/м);
z3 – координата рассматриваемого сечения стержня по оси z (м);
А3 – площадь сечения силового участка III (м2);
г – удельный вес материала стержня (для стали Ст.3 - г = 78Ч103 Н/м3).
Тогда в сечении 3-3 (крайнее нижнее сечение бруса) продольная сила будет равна нулю (т. к. и координата и вес равны нулю), а в сечении 2-2 (в крайнем верхнем сечении участка III) продольная сила определится по формуле:
N3 = q3Чz3 =l3Ч гЧА3 =1,0Ч78Ч103Ч50Ч10-4 =390 Н ≈
≈ 0,39 кН.
С учетом того, что на третьем участке происходит растяжение бруса под собственным весом, продольную силу условно считаем положительной.
2.2. Нормальное напряжение в сечениях силовых участков определяем, как отношение продольной силы к площади поперечного сечения данного участка. Тогда для третьего участка можно записать:
у3 = N3/А3.
Зависимость между координатой z и величиной напряжения по сечениям будет линейной, как и для продольной силы. Тогда в сечении 3-3 нормальное напряжение будет равно нулю (т. к. продольная сила равна нулю), а в сечении 2-2 (со стороны участка III) определится по формуле:
у3 = N3/А3 = 390/40Ч10-4 = 97500,0 Па или у3 ≈ 0,0975 МПа.
2.3. На силовом участке III брус растягивается под собственным весом, т. е. имеет место его удлинение. Удлинение бруса на участке определяем по закону Гука, с учетом изменяющегося по координате z веса стержня:
∆l3 = ∫[N3/(EЧA3)]dz,
где Е – модуль продольной упругости стали; Е = 2Ч1011 Н/м2.
Удлинение изменяется по линейной зависимости от нижнего сечения (3-3) до верхнего сечения (2-2) силового участка, при этом в сечении 3-3 оно будет равно нулю, поскольку продольная сила N3 в этом сечении равна нулю, а в сечении 2-2 удлинение будет равно:
∆l3 = ∫[N3/(EЧA3)]dz = ∫[(А3ЧгЧz3)/(ЕЧА3)]dz = (гЧl32)/2E =
= (78Ч103Ч12)/(2Ч2Ч1011) = 0,000000195 м или ∆l3 ≈ 0,000195 мм.
3. Аналогично проводим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке II, учитывая, что к сечению 2-2 участка II (крайнему нижнему) приложены продольные силы F и N3 (вес силового участка III бруса). Обе эти силы являются растягивающими, т. е. условно положительными.
3.1. Продольная сила на участке II будет равна:
В начале участка II (нижнее сечение на границе с сечением III):
N2 Z=0 = N3 + F = 390 + 70000 = 70390 Н ≈ 79,39 кН.
В конце участка II (верхнее сечение на границе с участком I):
N2 Z=1 = N2 Z=0 + q2Чz2 =1 = N2 Z=0 + (l2Ч гЧА2) = 70390 + (1Ч78Ч103Ч20Ч10-4) = 70546 Н ≈
≈ 70,55 кН.
3.2. Нормальные напряжения в сечениях силового участка II:
В начале участка II (верхнее сечение на границе с сечением III):
у2 Z=0 = N2 Z=0 /А2 = 70390 / 20Ч10-4 = 35 195 000 Па ≈ 35,2 МПа.
В конце участка II (нижнее сечение на границе с участком I):
у2 Z=1 = N2 Z=1 /А2 = 70546 / 20Ч10-4 = 35 273 000 Па ≈ 35,3 МПа.
3.3. Удлинение стержня на силовом участке II:
∆l2 = (гЧl22)/2E + (N2 Z=1 Чl2/EA2) =
= (78Ч103Ч1,02)/(2Ч2Ч1011) + (70546Ч1) / (2Ч1011Ч20Ч10-4) ≈ 0,000177 м
или ∆l2 Z=1 ≈ 0,177 мм.
4. Производим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке I, учитывая, что к сечению 1-1 участка (крайнему нижнему) приложена продольная сила N2 Z=1, равная векторной сумме весов силовых участков II, III бруса и сосредоточенной силы F. Эта сила по отношению к участку I является растягивающей (т. е. условно положительной).
4.1. Продольная сила на участке I будет равна:
В начале участка I (сечение 1-1):
N1 Z=0 = N2 Z=1 = 70546 Н ≈ 70,55 кН.
В конце участка I (сечение 0-0):
N1 Z=1,1 = N1 Z=0+ q1Чz1 = N1 Z=0 + (l1Ч гЧА1) =70546 + (1,1Ч78Ч103Ч40Ч10-4)= 70889,2 Н ≈
≈ 70,89 кН.
4.2. Нормальные напряжения в сечениях силового участка I:
В начале участка I (сечение 1-1):
у1 Z=0 = N1 Z=0 /А1 = 70546 / 40Ч10-4 = 17 636 500 Па ≈ 17,64 МПа.
В конце участка I (сечение 0-0):
у1 Z=1,1 = N1 Z=1,1 /А1 = 70889,2 / 40Ч10-4 = 17 722 300 Па ≈ 17,72 МПа.
4.3. Удлинение бруса на силовом участке I:
∆l1 = (гЧl12)/2E - (N1 Z=1,1 Чl1/EЧA1) =
= (78Ч103Ч1,12)/(2Ч2Ч1011) + (70889,2Ч1,1) / (2Ч1011Ч40Ч10-4) ≈
≈ 0,00009771 м ≈ 0,098 мм.
5. Определяем перемещения сечений стержня:
д0-0 = 0 мм;
д1-1 = ∆l1 = 0,098 мм;
д2-2 = ∆l1 + ∆l2 = 0,098 + 0,177 ≈ 0,275 мм;
д3-3 = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = 0,098 + 0,177 + 0,000195 ≈ 0,275 мм.
Очевидно, что силовые участки I и II растянуты значительнее участка III, поскольку удлинение в них имеет место, преимущественно, под действием сосредоточенной силы F.
6. Результаты расчетов сводим в таблицу 1.1.2, и строим эпюры продольных сил N, нормальных напряжений у и перемещений д (см. рис. 1.1,а).
Таблица 1.1.2. Значения продольной силы, нормального напряжения и удлинения стержня по сечениям силовых участков.
Участок | Границы участка | Продольная сила, N, кН | Нормальное напряжение, у, МПа | Перемещение д, мм |
III | начало | 0 | 0 | 0,275 |
конец | 0,39 | 0,0975 | 0,275 | |
II | начало | 0,39 | 35,2 | 0,275 |
конец | 79,39 | 35,3 | 0,098 | |
I | начало | 70,55 | 17,64 | 0,098 |
конец | 70,89 | 17,72 | 0 |
Задача 2.1. Расчет вала
Условие задачи:
К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной l1…l4 приложено четыре сосредоточенных момента М1…М4 (см. рис. 2.1).
Требуется:
- построить эпюру крутящих моментов МКР; подобрать диаметр d вала из расчета на прочность; построить эпюру максимальных касательных напряжений фmax; построить эпюру углов ц закручивания вала; определить наибольший относительный угол Иmax закручивания вала.
Исходные данные :
Таблица 2.1.1
Нагрузки, кНм | Длина участков, м | ||||||
М1 | М2 | М3 | М4 | l1 | l2 | l3 | l4 |
- 4,5 | - 2,6 | -2,3 | - 2,0 | 1,1 | 0,6 | 0,9 | 0,4 |
Указания:
Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными варианта (рис. 2.1).
Знаки моментов в исходных данных означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z, минус – по часовой стрелке (см. навстречу оси Z).
В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.
Участки нумеровать от опоры.
Допускаемое касательное напряжение [ф] для стали принимать равным 100 МПа.
Решение:
1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке начиная от свободного конца вала. Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.
МIV = М1 = -4,5 (кНм);
МIII = М1 + М2 = -4,5 - 2,6 = -7,1 (кНм);
МII = М1 + М2 + М3 = -4,5 - 2,6 - 2,3 = - 9,4 (кНм);
МI = М1 + М2 + М3 + М4 = -4,5 - 2,6 - 2,3 – 2,0 = -11,4 (кНм).
2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления для участка, где величина крутящего момента максимальная (без учета знака), т. е. для участка I:
WР ≥ МКРmax/[ф] .
Так как для круглого сечения полярный момент равен: WР = рD3/16, то можно записать:
D ≥ 3√(16МКРmax/р[ф]) ≥ 3√[(16Ч11,4Ч103) / (3,14Ч100Ч106)] ≥ 0,0005809 м
или D ≥ 58,1 мм.
В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, принимаем диаметр вала D = 60 мм (1-й ряд номинальных диаметров).
3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:
ц = МКРЧl/GЧIP,
где G – модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8Ч1010 Па;
IP – полярный момент инерции (для круглого сечения IP = рD4/32 ≈ 0,1D4, м4.
Произведение GЧIP = 8Ч1010Ч0,1Ч0,064 ≈ 103 680 Нм2 – жесткость сечения данного вала при кручении.
Рассчитываем углы закручивания на каждом участке:
цI = -11,4Ч103Ч1,1/103 680 = -0,121 рад;
цII = -9,4Ч103Ч0,6/103 680 = -0,054 рад;
цIII = -7,1Ч103Ч0,9/103 680 = -0,0252 рад;
цIV = -4,5Ч103Ч0,4/103 680 = -0,027 рад.
4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):
ц0-0 = 0 рад;
ц1-1 = цI = -0,121 рад;
ц2-2 = цI + цII = -0,121 - 0,054 = -0,175 рад;
ц3-3 = цI + цII + цIII = -0,121 - 0,054 - 0,0252 = -0,20 рад;
ц4-4 = цI + цII + цIII + цIV = -0,121 - 0,054 - 0,0252 - 0,027 = -0,227 рад.
5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:
фmax = МКР/WP = 16МКР/рD3 ≈ 5МКР/D3.
фmaxIV = 5Ч-4,5Ч103/0,063 = -104 166 666 Па ≈ -104,17 МПа;
фmaxIII = 5Ч-7,1Ч103/0,063 = -164 351 851 Па ≈ -164,35 МПа;
фmaxII = 5Ч-9,4Ч103/0,063 = -217 592 592 Па ≈ -217,59 МПа;
фmaxI = 5Ч-11,4Ч103/0,063 = -263 888 888 Па ≈ -263,88 МПа.
6. Наибольший относительный угол закручивания Иmax определим по формуле:
Иmax = МКРmax/GЧIP = -11,4Ч103/103 680 ≈ -0,11 рад/м.
7. По результатам расчетов строим эпюры крутящих моментов МКР, касательных напряжений фmax и углов закручивания ц (см. рис. 2.1, а).
Очевидно, что эпюра крутящих моментов будет идентична по форме (при соответствующем масштабе) эпюре касательных напряжений, поскольку вал имеет одинаковый диаметр по всей длине и изготовлен из однородного материала.
Задача 4.1. Расчет балки
Условие задачи:
На горизонтально расположенную балку, закрепленную на двух шарнирных опорах, действуют активные нагрузки М, F и q. Материал стержня – сталь Ст.3.
Требуется:
Построить эпюры поперечных сил QY и изгибающих моментов МX и подобрать сечение балки из расчета на прочность.
Исходные данные:
Таблица 4.1.1
Нагрузки | Координаты | а, м | Сечение | ||||||
М, кНм | F, кН | q, кН/м | zM | zF | zq | zB | |||
начало | конец | ||||||||
6 | -7 | -10 | 3а | а | 2а | 3а | 3а | 2 | швеллер |
Указания:
Шарнирно-неподвижную опору А располагать на левом конце балки, этот же конец балки принимаем за начало координат.
Шарнирно-подвижную опору В и внешние нагрузки располагать на соответствующих варианту задания координатах, в соответствии с которыми разбиваем балку на силовые участки.
Силовым участком считать ту часть балки, в пределах которой законы измерения QY и MX остаются постоянными.
Длину каждого силового участка обозначаем через li.
Решение:
1. Из условия равновесия балки определим неизвестные опорные реакции RA и RB. Для этого составляем уравнения равновесия для изгибающих моментов сначала относительно опоры А, затем относительно опоры В.
При этом изгибающие моменты, направленные по часовой стрелке относительно опоры считаем отрицательными, против часовой стрелки – положительными. Изначально реакции опор А и В направим вверх.
∑МА = –FЧа – qЧaЧ2,5а + М + RBЧ3а = 0,
откуда находим реакцию RB:
RB = (FЧа +2,5qa2– М)/3а = (7Ч2 + 2,5Ч10Ч4 – 6)/(3Ч2) = 18,0 кН.
∑МВ = М + qЧаЧ0,5a + FЧ2а – RАЧ3а = 0,
откуда находим реакцию RА:
RА = (М + 0,5qa2 + 2Fа)/3а = (6 + 0,5Ч10Ч4 + 2Ч7Ч2)/(3Ч2) = 9,0 кН.
Произведем проверку правильности найденных значений опорных реакций, используя уравнение равновесия действующих на балку сил с учетом их направления:
∑FY = RA – F – qa + RB = 9 – 7 – (10Ч2) + 18 = 0.
Опорные реакции найдены правильно, их направление выбрано верно.
2. Разобьем балку на три силовых участка и составим уравнения внутренних усилий QY и MX для каждого участка.
2.1. Участок I: 0 ≤ z1 ≤ 2 м.
QY1 = RA = 9 кН;
MX1 = – RAЧz1.
На протяжении силового участка I внутренняя сила остается неизменной и равна реакции RA опоры А; эпюра внутренних сил на этом участке представляет собой прямую линию, параллельную оси Z с ординатой у = 9 кН.
Изгибающий момент на силовом участке I изменяется по линейной зависимости, поэтому его эпюра имеет вид наклонной прямой. Для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов на этом участке необходимо вычислить значение моментов в его крайних точках:
Мх1Z1=0 = 0;
Мх1Z1=а = -9Ч2 = – 18 кНм;
2.2. Участок II: 2 м ≤ z2 ≤ 4 м.
QY2 = RA – F = 9 – 7 = 2 кН – участок эпюры в виде горизонтальной прямой;
Изгибающий момент на силовом участке II также изменяется по линейной зависимости, поэтому для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов необходимо вычислить значение моментов в крайних точках участка:
МХ2 = – RAЧ (a+z2) + Fz2 .
МХZ2=0 = MXZ2 = – 18 кНм (как в последнем сечении первого участка);
МХZ2=а = –9Ч4 + 7Ч2 = – 22 кНм;
2.3. Участок III: 4 м ≤ z3 ≤ 6 м.
QY3 = RA – F - qz3 .
Сила на всем протяжении участка изменяется по линейной зависимости, поэтому для построения эпюры достаточно знать значение силы в крайних точках участка.
QY3z=0 = QY2 = 2 кН;
QY3z=a = QY2 – qa = 2 – 10Ч2 = –18 кН;
Поскольку внутренняя сила на участке поменяла знак, то изгибающий момент на этом участке имеет экстремальное значение в сечении с координатой z3экст. Определим эту координату.
QY3zэкст = QY2 – q z3экст = 0, откуда находим: z3экст = QY2 / q = 2/10 = 0,2 м.
Изгибающий момент на протяжении участка изменяется криволинейно, при этом в точке z3экст = 0,2 м он имеет экстремальное значение.
МХ3 = – RA (2a+z3) + F(а + z3) + qЧ z3Ч z3/2.
МХ3Z3=0 = – 22 кНм (как в последнем сечении второго участка);
MX3Z3экст = – 9Ч(2Ч2+0,2) +7Ч(2+0,2) + 10Ч0,22/2 = – 22,2 кНм;
МХ3Z3=а = –54 + 28 + 20 = – 6 кНм;
3. По результатам расчетов строим эпюры поперечных сил QY и изгибающих моментов МХ (рис. 4.1, а).
4. По эпюре МХ определяем опасное сечение балки, где изгибающий момент имеет максимальное значение (по абсолютной величине): MXmax = 22,2 кНм.
Размер сечения (по условию варианта задания - № швеллера) вычисляем из условия прочности при изгибе по осевому моменту сопротивления сечения:
WX = MXmax/[у] = 22,2Ч103/160Ч106 =0,00013875 м3 ≈ 138,75 см3,
где [у] = 160Ч106 Па – предельное напряжение для стали Ст3.
По таблице сортаментов (ГОСТ 8240-89) выбираем швеллер № 20, у которого момент сопротивления изгибу WX = 152 см3.
Задача 4.3. Расчет статически неопределимой балки
Условие задачи:
На статически неопределимую балку, имеющую две опоры: жесткую заделку и шарнирно-подвижную опору, действуют внешние нагрузки: сила F и распределенная нагрузка q.
Требуется:
Определить опорные реакции, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и линейных перемещений.
Исходные данные
Таблица 4.3.1
q | координаты | F | ZF | ZB | а | |
начальная Zq | конечная Zq | |||||
20 кН/м | 0 | 2а | -15 кН | 4 а | 2а | 1,5 м |
Указания:
Вычертить схему балки в соответствии с исходными данными (рис. 4.3).
Жесткую заделку расположить на левом конце балки, там же выбрать начало координат.
Раскрытие статической неопределимости следует проводить методом сил, определение линейных перемещений – методом начальных параметров.
Решение:
1. Раскрытие статической неопределимости балки.
Данная балка является статически неопределимой один раз, поскольку опорных реакций у нее больше, чем уравнений статики на единицу. Следовательно, применить методы статики для определения неизвестных силовых факторов невозможно, так как одна опорная реакция является «лишней», и неизвестных силовых факторов на единицу больше, чем уравнений равновесия.
Для решения задачи используем способ Верещагина, отбросив «лишнюю» связь и заменив ее неизвестным усилием Х1 (см. рис. 4.3, а). За лишнюю связь можно принять любую опорную реакцию, кроме продольно действующей реакции HA, так как без нее балка не сможет сохранять равновесие.
Принимаем за лишнюю связь реактивный момент МА, составляем эквивалентную схему балки (рис. 4.3, а), и записываем каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой системы:
д11ЧХ1 + Д1Р = 0.
Поскольку в качестве лишней связи мы отбросили реактивный момент, данное каноническое уравнение является уравнением угла поворота балки в начале координат, т. е. в жесткой заделке.
Для вычисления коэффициентов канонического уравнения построим грузовую МF (от внешних нагрузок F и q) и единичную М1 (от усилия Х1= 1) эпюры изгибающих моментов, а затем перемножим их в соответствии со способом Верещагина (см. рис. 4.3, а).
По способу Верещагина произведение эпюр МFЧМ1 равно площади грузовой эпюры, умноженной на высоту единичной эпюры, взятой под центром тяжести грузовой эпюры. При этом обе линии эпюр не должны иметь точек перелома, и хотя бы одна из эпюр должна быть линейной. Для удобства расчетов расслаиваем грузовую эпюру на две составляющие - МF и Мq, построив их в виде отдельных графиков.
Знак изгибающего момента на эпюрах выбираем в соответствии с «правилом дождя» - если нагрузка изгибает балку дугой вверх – она условно считается отрицательной; нагрузка, изгибающая балку дугой вниз – условно положительная.
При сложении полученных сомножителей учитываем знак – если перемножаемая составляющая грузовой эпюры расположена по одну сторону с единичной эпюрой – произведение имеет положительный знак, в противном случае - отрицательный.
Из схемы на рисунке 4.3, а видно, что все эпюры находятся по одну сторону от нулевой линии (в отрицательной области), следовательно, оба сомножителя будут положительными.
В соответствии со схемами на рисунке 4.3,а коэффициенты канонического уравнения определяются по формулам:
д11 = 1/EIX ∫М1ЧМ1 dz = 1/EIX (1/2Ч1Ч2аЧ2/3Ч1) = 1/EIX;
∆1F = 1/EIX ∫МFЧМ1 dz = 1/EIX [(2/3Ч9/8Чqa2Ч2аЧ1/2) + (1/2ЧFЧ2аЧ2аЧ1/3)] ≈ 73,12/EIX.
Подставим полученные значения в каноническое уравнение и найдем неизвестное усилие Х1:
Х1/EIX + 73,12/EIX = 0, отсюда Х1 = -73,12 (кНм).
Статическая неопределимость раскрыта.
Отрицательное значение усилия Х1 показывает, что его действительное направление противоположно выбранному на схеме (рис. 4.3, а). Изгибающий момент МА, действующий в жесткой заделке, тоже направлен противоположно показанному на схеме направлению усилия Х1.
2. Определение реакций опор.
Изначально реакции опор RА и RB направим вниз, и, используя уравнения статики, найдем их величину и действительное направление:
∑FZ = HA = 0, откуда следует, что НА = 0;
∑МА = - МА + RBЧ2а + qЧ2аЧ2а/2 - FЧ4а = 73,12 - 3RB + 90 - 90 = 0,
откуда RB = 73,12 /3 = 24,37 (кН).
Положительное значение реакции RB показывает, что ее действительное направление совпадает с выбранным на схеме (рис. 4.3, а).
∑МВ = - МА + RАЧ2а - qЧ2аЧ2а/2 - FЧ2а = 73,12+ 3RA – 90 - 45 = 0,
откуда RA ≈ 20,63 (кН).
Поскольку реакция получилась положительной, ее направление на схеме выбрано верно.
В качестве проверки полученных результатов составляем уравнение равновесия сил, действующих на балку:
∑FY = - RA + qЧ2a - RB + F = -20,63 + 60 - 24,37 - 15 = 0.
Проверка показала, что условие равновесия балки соблюдается, значит, расчеты выполнены правильно.
3. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Разобьем брус условно на силовые участки I и II (рис. 4.3, а), и определим нагрузки, действующие на границах этих участков.
3.1. Эпюра поперечных сил.
Для построения эпюр поперечных сил определим значения сил на границах силовых участков, начиная от свободного конца балки. При этом учитываем, что на участке II действует только сила F (эпюра – горизонтальная линия с ординатой -15 кН), а на участке I силы изменяются по линейной зависимости, поскольку здесь действует распределенная нагрузка q.
В сечении, где приложена реакция RB = -24,37 кН эпюра образует «ступеньку», равную величине этой реакции, при этом внутренняя сила здесь меняет знак на противоположный, следовательно, в этом сечении изгибающий момент имеет экстремальное значение.
Q2 x=2а = F = –15 F + RB = –15–24,37 = –39,37 кН;
Q1x=0 = F + RВ + 2qа = –15 – 24,37 + 60 = 20,63 кН.
В крайнем сечении (жесткая заделка) эпюра имеет «ступеньку», равную по величине реакции RA = 20,63 кН.
3.2. Эпюра изгибающих моментов.
Для построения эпюр изгибающих моментов определим значения моментов на границах силовых участков, начиная от свободного конца балки. При этом учитываем, что на участке II изгибающий момент изменяется по линейной зависимости от нуля до значения
МХ = 2аF = -45 кНм,
а на участке I момент изменяется по квадратичной зависимости, поскольку здесь действует распределенная нагрузка q. На этом участке эпюра изгибающих моментов будет иметь криволинейный вид (парабола).
В крайнем левом сечении первого участка (жесткая заделка) эпюра изменяется скачкообразно на величину момента МА = 73,12 кНм до нулевой линии балки.
Знак изгибающих моментов принимаем в соответствии с «правилом дождя» - если момент выгибает балку вверх – он условно считается отрицательным, если вниз – положительным.
МХ х=4а = 0 кНм;
МX х=2а = -2аF = -45 кНм;
МХ х=а = -3аF - аRВ + qа2/2 = -67,5 – 36,5 +22,5 = -81,5 кНм;
МХ х=0 = -73,12 0 кНм.
4. Построение эпюры прогибов балки
Для построения эпюры линейных перемещений Y (прогибов) требуется определить их значения в 4…5 сечениях балки. В нашем случае известно, что перемещения в опорах А и В равны нулю, т. е. yA = 0 и yB = 0.
Вычислим прогибы в координатах х = а и х = 4а.
Уравнения прогибов в этих сечениях по методу начальных параметров имеют вид:
EIX y1 = MA(а – 0)2/2 - RA(а – o)3/6 + q(а – 0)4/24 =
= 73,12Ч1,52/2 – 20,63Ч1,53/6 + 20Ч1,54/24 ≈ 90,87 (кНЧм3);
EIX y2 = MAЧ(4а – 0)2/2 - RAЧ(4а – 0)3/6 - RВ Ч(2а – 0)3/6 - q(4а – 0)4/24 =
= 1316,16 - 742,68 - 109,67 - 1080 ≈ -616,2 (кНЧм3).
5. По полученным расчетным данным строим эпюры поперечных сил QY, изгибающих моментов MX и прогибов Y (см. рис. 4.3, а).
Задача 5.3. Изгиб с кручением
Условие задачи:
На валу круглого сечения, вращающемся с угловой частотой щ, расположены два шкива ременной передачи диаметрами D1 и D2, через которые передается мощность Nэд. Вал закреплен в подшипниковых опорах А и В. Ветви шкива 1 расположены под углом б1, а шкива 2 – под углом б2 к горизонтали.
Исходные данные:
Таблица 5.3.1
l1 м | D1 м | б1 град | l2 м | D2 м | б2 град | lВ м | Nэд кВт | n об/м | [у] мПа |
1,8 | 0,5 | 15 | 3,8 | 0,35 | 90 | 3,0 | 14 | 1500 | 160 |
Требуется:
Подобрать диаметры вала по III теории прочности при заданном предельном напряжении [у].
Указания:
Опору А расположите в начале координат, опору В – на координате l2, шкивы 1 и 2 соответственно на координатах l1 и l2.
Решение:
1. Определим момент Мкр, действующий на участке вала между шкивами 1 и 2:
Мкр = Nэд/щ = 30Nэд/рn = 30Ч14 000/3,14Ч1500 = 89,17 [Нм]= 0,089 [кНм]
и построим эпюру крутящих моментов.
2. Определим усилия t1 и t2 в ременной передаче:
t1 = 2МКР/D1 = 2Ч89,17/0,5 = 356,69 [Н] ≈ 0,36 [кН];
t2 = 2МКР/D2 = 2Ч89,17/0,35 = 509,55 [Н] ≈ 0,51 [кН].
3. Опорные реакции, необходимые для построения эпюр изгибающих моментов, определим из уравнений статики, с учетом того, что ветви ремня первого шкива отклоняются от горизонтали на 30˚ (см. рис. 5.3), а угол наклона ветвей ремня второго шкива к горизонтали составляет 90˚.
sin 30˚ = 0,5, cos 30˚ = 0,866.
У МВХ = RAYЧlВ + (2t1+ t1)Ч(lВ – l1)Чsin 30˚ – (2t2+ t2)Ч(l2 – lВ) = 0,
откуда находим RAY [кН]:
RAY = [– (2t1+t1)Ч(lВ–l1)Чsin30˚ + (2t2+t2)Ч(l2–lВ)] / lВ =
= [–3Ч0,36Ч(3,2 – 2,4)Ч0,5+3Ч0,51Ч(3,8 – 3,2)]/3,2 ≈ 0,152 [кН];
У МВY = - RAXЧlВ + (2t1+ t1)Ч(lВ – l1)Чcos 30˚ = 0,
откуда находим RAX [кН]:
RAX = [-3t1Ч(lВ – l1) + 3t2Ч(l2 – lВ)Чcos 30˚]/ lВ =
= [–3Ч0,36Ч(3,2 – 2,4) + 3Ч0,51Ч(3,8 – 3,2)Ч0,866]/3,2 ≈ –0,022 [кН];
4. Определяем значения изгибающих моментов МХ и МY в крайних точках силовых участков вала, а также величину суммарного изгибающегося момента МИЗГ, который определяется, как векторная сумма моментов МХ и МY:
МИЗГ = √(МХ2 + МY2),
где МХ = RAYЧlZ; МY = RAXЧlZ
5. Результаты расчетов заносим в Таблицу 5.3.2 и в соответствии с полученными расчетными данными строим эпюры изгибающих моментов МХ, МY и МИЗГ (рис. 5.3, а).
Используя эпюру МИЗГ, определяем опасное сечение вала по максимальному изгибающему моменту: МИЗГmax = 0,491 кНм.
Таблица 5.3.2
Параметры | Z = 0 м | Z = l1 =2,4 м | Z = lB= 3,2 м | Z = l2 = 3,8 м |
МХ кНм | 0 | 0,365 | 0,486 | 0 |
МY кНм | 0 | 0,053 | 0,070 | 0 |
МИЗГ кНм | 0 | 0,369 | 0,491 | 0 |
6. Подбираем сечения вала по условию прочности:
уmax = МПРmax/WОС ≤ [у],
где МПРmax – приведенный момент, по III теории прочности:
МПРmax = √(МХ2 + МY2 + МКР2) = √(0,4962 + 0,072 + 0,0892) = 0,509 [кНм];
Wос – осевой момент сопротивления сечения, который для круглого сечения может быть определен из зависимости: WОС = рd3/32.
7. Определяем минимальный диаметр вала:
d ≥ 3√(32МПРmax/р[у]) ≥ 3√(32Ч0,509Ч103)/(3,14Ч160Ч106) ≥ 0,0319 м ≥ 31,9 мм.
Принимаем диаметр вала из стандартного ряда (ряд Ra10) по ГОСТ 6636-69:
d = 32,0 мм.
Ответ:
Для обеспечения условия прочности и соответствия установленным стандартным размерам диаметр вала должен быть равен 32 мм.
Литература:
1. , . Сопротивление материалов: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников механических, машиностроительных, автотранспортных специальностей. – Изд-во АлтГТУ – Барнаул. – 2004 г. – 62 с.
2. Краткий курс лекций по сопротивлению материалов: Учебное пособие. – Барнаул, Изд-во АлтГТУ. – 2010 г. – 124 с.
3. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. - 10-е издание, перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. , 2009. - 592 с.
