Задача К1
Закон движения точки М на неподвижной плоскости задан в координатном виде:
(1)
y = 3t+6,м (2)
где t – время, c.
Определить:
1) траекторию движения точки;
2) начало движение точки;
3) направление движения точки и скорость точки в момент времени t1=1с;
4) характер движения точки и ускорение точки в момент времени t1=1с;
5) радиус кривизны траектории в момент времени t1=1с.
Решение
1. Определим уравнение траектории движения точки на плоскости.
Выразим t из (2) подставим в (1), получим
- траекторией движения точки является гипербола.
2. В начальный момент t0=0 точка находится в положении М0 траектории с координатами x0, y0. Подставляя t0 в выражения для х, y, найдем:
x0 = x(t0) = -1,5 м; y0 = y(t0) = 6 м.
3. За направление движения отвечает вектор скорости
, где 
,
- проекции вектора скорости на координатные оси
- единичные вектора
; 
.
Вычислим значения 
,
в момент времени t1
; 
. (3)
Определим длину вектора 
:
.
4. Чтобы определить характер движения, определим ускорение точки
, где 
,
- проекции вектора скорости на координатные оси
- единичные вектора
; 
.
Вычислим значения 
,
в момент времени t1
; 
. (4)
Определим длину вектора 
в момент времени t1:
.
5. Радиус кривизны траектории определяется следующим образом:
где ап – нормальное ускорение точки.
Найдем из выражения: 
, где 
Для момента времени t1: 
, 
6. Строится траектория движения точки.
В момент времени t1 точка находится в положении М1 траектории с координатами x1, y1: x1 = x(t1) = -1 м; y1 = y(t1) =9 м.
Изображаем 
, т. к. 
положительна, то мы откладывает от точки М1 по направлению оси х; 
положительна то мы откладывает от точки М1 по направлению оси y. Сложив два этих вектора, получаем 
.
Изображаем 
, т. к. 
отрицательна, то мы откладывает от точки М1 против направления оси х; а 
, то 
будет совпадать с 
. Спроецируем 
на 
, получаем 
, проекция на линию перпендикулярную
даст 
.
Исходя из графика видно, что движение замедленное, т. к. 
направлено против 
.
Рис. 1
