Задачи на комбинацию сферы и пирамиды Название предмета Геометрия Класс 11 УМК Атанасян Л.С, , и др. Геометрия . 10-11 кл.

Задачи на комбинацию сферы и пирамиды

Название предмета

Геометрия

Класс

11

УМК

Атанасян Л.С, , и др. Геометрия . 10-11 кл.

Уровень обучения

базовый

Тема урока

Задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар

Общее количество часов, отведенное на изучение темы

18

Место урока в системе уроков по теме

13

Цель урока

Формировать умение решать задачи на комбинацию: шара и пирамиды

Задачи урока

  • продолжить формирование знаний о взаимном расположении геометрических тел (место нахождения центра сферы, радиуса сферы); систематизировать и обобщить знания по комбинациям шара с пирамидой;
  • воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность; объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль, взаимоконтроль.
  • способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, наглядно-действенного мышления; развивать пространственное воображение, навыки решения задач.

Планируемые результаты

Получат навыки решения задач на комбинацию шара и пирамиды; умеют заменять пространственные чертежи планиметрическими, сформируют навыки применения формул планиметрии для решения задач на комбинации тел

Техническое обеспечение

Карточки с печатным материалом на комбинацию сферы и пирамиды.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока


Тип урока

Урок ознакомления с новым материалом

Содержание урока

  1. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности.

Давайте вспомним факты, известные нам из курса планиметрии:

  • Всякий ли треугольник можно вписать в окружность?
  • Где находится центр окружности, описанной около треугольника?
  • Где находится центр описанной окружности в остроугольном, прямоугольном, тупоугольном треугольнике?
  • Всякий ли четырехугольник можно вписать в окружность?
  • Каким свойством обладает четырехугольник, вписанный в окружность? Описанный около окружности?
  • Где находится центр окружности, вписанной в треугольник?

Почему мы затронули эти вопросы? Какую аналогию можно провести на плоскости и в пространстве? Тема нашего урока «Задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар». Учащиеся определяют цели урока.

  1. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию

опорных знаний.

  1. Устный опрос по вопросам №№9,10 к главе IV.
  2. Три человека заранее готовят решение домашних задач № 000, № 000, доп. задачи. Учащиеся выполняют самопроверку.
  3. Пять человек у доски записывают формулы для вычисления площади сферы, равностороннего треугольника, радиуса описанной около треугольника окружности, теорему косинусов. Остальные работают в тетрадях.
  4. По цепочке опрос понятий: многогранника описанного около сферы (шара); сферы, вписанной в многогранник.
  1. Ознакомление с новым материалом.

Давайте поясним некоторые термины, которые будут встречаться в задачах: многогранник, описанный около сферы; сфера, вписанная в многогранник; многогранник, вписанный в сферу; сфера, описанная около многогранника. Посмотрите на рис. 172 и рис. 173 учебника, стр.156.

Далее учащиеся получают карточки с печатным материалом на комбинацию сферы и пирамиды.

Теория на комбинацию сферы и пирамиды.

а) Шар, вписанный в пирамиду.

  • В любую треугольную пирамиду можно вписать шар.
  • В пирамиду, у которой в основание можно вписать окружность, центр которой служит основанием высоты пирамиды, можно вписать шар.
  • В любую правильную пирамиду можно вписать шар.
  • Центр шара, вписанного в пирамиду, есть точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание.
  • Центр (сферы) шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.

б) Шар, описанный около пирамиды.

  • Около любой треугольной пирамиды можно описать шар.
  • Если около основания пирамиды можно описать окружность, то около пирамиды можно описать шар.
  • Около любой правильной пирамиды можно описать шар.
  • Центр шара, описанного около пирамиды, лежит в точке пересечения прямой перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр описанной около основания окружности и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через середину этого ребра.
  1. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изуче-ния.
  1. Решим задачу № 000. При решении задачи будем рассматривать треугольную пирамиду (опираемся на теорию под буквой а)).

Учащиеся записывают краткую запись задачи и совместно с учителем проводят обсуждение и доказательство задачи (рис.1)


Доказательство:

Проведем AE перпендикулярно BC и отрезок SE. По теореме о трех перпендикулярах SE перпендикулярно CB. Впишем в ∆ SDE полуокружность DFG, центр O которой лежит на катете SD, а дуга касается сторон DE и SE. ∆ SED вместе с полуокружностью DEF будем поворачивать вокруг SD. Тогда катет DE опишет окружность, вписанную в ∆ ABC, поэтому гипотенуза SE при вращении остается внутри пирамиды, за исключением трех положений, когда SE будет совпадать с высотой боковых граней. Отсюда вывод: сфера, образованная вращением полуокружности G, будет иметь единственную общую точку с каждой из боковых граней. Эта сфера касается и основания пирамиды в точке D. Тогда центр вписанной в пирамиду SABC сферы (O;R) лежит на высоте SD.

  1. Решим задачу № 000(в). Вместе с учителем учащиеся записывают условие задачи и проводят анализ задачи. Выделяют этапы решения. Отмечают, что для решения необходимо пространственный чертеж перевести на плоскость. Затем одному из учащихся предлагается записать решение задачи на доске.

Решение:

Пусть ребро тетраэдра равно a. Центр сферы лежит на высоте DH, точка H- центр ∆ABC, поэтому HA=. Из прямоугольного ∆ADH (рис.3):

DH==a*, тогда cosб==, где б=∟ADH. Из ∆AOD по теореме косинусов: a2=2R2-2R2cos(180ₒ-2б)=4R2cos2б=R2. Все грани пирамиды равносторонние треугольники, площадь одной грани равна ,тогда Sп.п.=

=4*=.

Ответ:

  1. Постановка заданий на дом.

№№ 000, 637 стр.155-156 и карточка с теорией на комбинацию сферы и пирамиды.

  1. Подведение итогов урока.

Еще раз поработать с карточкой на теорию комбинации сферы и пирамиды.



Задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар

Решение задач на вписанные в сферу многогранники

Решение задач на описанные около сферы многогранники

Сфера, вписанная в цилиндрическую, коническую поверхности. Сечения цилиндрической, конической поверхностей

Обобщение по теме: "Цилиндр, конус, сфера и шар"







Подпишитесь на рассылку:


Вычисление
это получение из входных данных нового знания

Геометрия

Проекты по теме:

Математика
Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.