Задачи на прямую и обратную пропорциональность(занятие 1)

Задачи на прямую и обратную пропорциональность(занятие 1)

Цель занятия: расширение знаний о способах решения задач на прямую и обратную пропорциональность

Задачи занятия:

Содействовать развитию умений обобщать и систематизировать имеющиеся знания Создать условия для расширения кругозора учащихся при решении старинных практических задач

План занятия

Организационный момент Актуализация опорных знаний Устный счет Исторический материал Старинные задачи Физкультминутка Решение задач Подведение итогов занятия

Ход занятия

Ничто не нравится, кроме красоты,

в красоте – ничто, кроме форм,

в формах – ничто, кроме пропорций,

в пропорциях – ничто, кроме числа.

(Аврелий Августин)

  354-430г. г.

I. Организационный момент

Сегодня приступаем к решению более сложных, но не менее интересных задач на пропорциональные величины. Изучение пропорций и указанных зависимостей имеет большое значение для последующего изучения математики. Позже с помощью пропорций вы будете решать задачи по химии, физике и геометрии.

II.  Актуализация опорных знаний

С чего же начинали?

Познакомились с понятиями «отношение», «пропорция»
(отношение - ………., пропорция - ………(ожидаются ответы учащихся) Научились решать пропорции и выяснили, что основной способ их решения должен опираться на ……. (основное свойство пропорций) Научились выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости между ними. (прямая или обратная зависимости) Научились делать краткую запись условия задачи и составлять пропорцию (уменьшение величины показываем стрелкой вниз, а увеличение стрелкой вверх)

Будем продвигаться вперёд от простого к сложному.

III. Устный счет

1. Из данных величин выберите те, которые являются прямой или обратной пропорциональностью:

а) длина стороны квадрата и периметр.
б) длина стороны квадрата и его площадь.
в) длина и ширина прямоугольника при заданной площади.
г) скорость автомобиля и путь, который он проедет за определённое время.
д) скорость туриста, идущего с турбазы на станцию, и время, за которое он дойдёт до станции.
е) возраст дерева и его высота.
ж) объём стального шарика и его масса.
з) число прочитанных страниц в книге и число страниц, которые осталось прочитать.

(Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за пропорциональность: чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать. Обратите внимание на то, что увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то же число раз.).

2. Разберём задачу:

Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать ещё 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц.

3. Рассмотрим задачи («провокационного характера»):

а) За 2 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа.

б) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов.

в) * Пруд зарастает лилиями, причём за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покроется лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

(Решение: так как за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается, то за неделю до того, как пруд полностью покроется лилиями, его площадь была ими покрыта наполовину, т. е. пруд покрылся лилиями наполовину за 7 недель)

IV. Исторический материал

Слово «пропорция» происходит от латинского proportio, озна­чающего вообще соразмерность, определенное соотношение час­тей между собой. Слово «пропорция»  ввел  в употребление Цицерон в 1 веке до н. э., который буквально означало  аналогия, соотношение. Пропорции начали изучать еще в древности. В 4 веке до н. э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы. В древности учение о пропорциях было в боль­шом почете у пифагорейцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций они поэтому называли «музыкальными» и «гармоническими». В IV в. до н. э. общая теория пропорций для любых величин (соизмеримых и несоизмеримых) была создана трудами древне­греческих ученых, среди которых выдающееся место занимали Теэтет и Евдокс. Эта теория подробно изложена в V книге «На­чал» Евклида. В 19-м предложении VII книги Евклид доказывает основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произ­ведению средних членов. Пропорциями пользовались для реше­ния разных задач и в древности и в средние века. Определенные типы за­дач легко и быстро решаются и теперь при помощи пропорций. Пропорции и пропорциональность применяются и применялись не только в математике, но и в архитектуре, искусстве. Пропорциональность в архи­тектуре и искусстве означает соблюде­ние определенных соотношений между размерами разных частей здания, фи­гуры, скульптуры или другого произ­ведения. Пропорциональность в таких случаях является условием правильно­го, наглядного и красивого построения или изображения. До XVI в. пропорции записывали большей частью словесно, полностью или сокращенно. Были сделаны разные попытки вве­дения специального обозначения для пропорций. Современная запись с помощью двоеточия и знака равенства была введена в 1693 г,

V. Решение старинных задач

Задача 1 (из «Арифметики» )

8 аршин сукна стоит 30 рублей. Сколько стоит 15 аршин этого сукна?

Краткое условие и два способа решения предлагается очень быстро сделать учащимся на доске.

1 способ:

2 способ: количество сукна увеличилось в 15/8 раза, значит и денег заплатят в 15/8 раза больше

Х=30*15/8=56р25к

Задача 2( из «Арифметики» ). Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, во сколько дней построят они ему двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо нанять, чтобы построить двор в 5 дней?

На доске записано незаконченное краткое условие:

Дополнить условие и решить задачу двумя способами.

I вариант: пропорцией

II вариант: без пропорций

В это же время двое учащихся работают у доски.

I.

II. Х = 20*6 = 120 работников

Задача 3. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев, и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить?

VI. Физкультминутка

VII. Решение задач

Задание: Прочитайте тексты предложенных задач. Определите, является ли прямой пропорциональной или обратной пропорциональной зависимость между величинами. В столбце “П, О” представленной ниже таблицы поставьте букву «П», если зависимость прямая, букву “О”, если зависимость обратная и прочерк, если нет зависимости.

№	Тексты задач	П, О	+/-
1	7 маляров могли бы покрасить забор за 18 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 12 маляров?
2	В 1000 г раствора содержится 8 г соли. Сколько соли содержится в 300 г раствора?
3	9 батонов хлеба весят 6 кг. Сколько весят 15 таких же батонов?
4	Для изготовления 24 приборов необходимо 56 т металла. Сколько металла необходимо для изготовления 36 таких же приборов?
5	Для варки варенья из черники на 16 кг ягод берут 12 кг сахарного песку. Сколько сахарного песку надо взять на 24 кг ягод?
6	Для 14 коров хватит заготовленного корма на 36 дней. На сколько дней хватит этого корма для 12 коров?
7	Для приготовления манной каши на 5 стакана крупы берут 500 г молока. Сколько надо взять крупы на 600 г молока?
8	теплоход за 3 ч проплыл по реке 38,6 км. Какое расстояние он проплывет за 9 ч?
9	Для 45 человек необходимо 90 кг продуктов. Сколько необходимо продуктов для 64 человек?
10	Строительные работы могут выполнить 10 рабочих за 13 дней. Сколько нужно рабочих, чтобы выполнить те же работы за 5 дней?

Задача 4.  Из «Арифметики» . 8 человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней; во сколько дней окончат ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?

Задача 5. Из 1 кг свежего мяса получается 620 г варенного. Сколько нужно взять свежего мяса для приготовления 124 порций вареного мяса по 100 г каждая?

Задача 6. На участке железной дороги старые рельсы длиной 6 м заменили новыми, длина которых 9м. сколько нужно рельсов для замены 720 старых?

Задача 7 (Старинная задача). Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?

VII. Подведение итогов занятия

Решали весь урок теперь уже почти забытые задачи. Двигались от простого к сложному. Было видно, что старинные задачи вызывают интерес, приятно наблюдать вашу упорную работу при решении задач, провели хорошую тренировку в различении прямой и обратной пропорциональности.