АНАЛИЗ ДИНАМИКИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
,
Российский университет дружбы народов, *****@***pfu. edu. ru
В данной работе для построения модели сложных систем в условиях неопределенности используется подход Блэка-Шоулза.
Ключевые слова: компьютерные науки, экономико-математическое моделирование, динамика сложных систем.
Введение
Классическая теория ценообразования опционов основана на результатах, полученных независимо Ф. Блэком и М. Шоулсом [1], и Р. Мертоном [2] в 1973. Их идея состояла в том, что рациональная стоимость опционных контрактов должна быть ничем иным, как той минимальной величиной начального капитала, которая дает продавцу опциона возможность построения хеджирующего портфеля. Основным предположением в их работах являлось то, что цены на актив связаны с динамикой вероятностного процесса (геометрическое (экономическое) броуновское движение) и имеют логнормальное распределение. Учитывая случай эффективного рынка без арбитража, при отсутствии выплаты дивидендов и постоянной волатильности, они пришли к выводу, что цена каждого финансового дериватива может быть описана обычным уравнением в частных производных, известным как уравнение Блэка-Шоулса. В самом простом случае для так называемого Европейского опциона уравнение Блэка-Шоулса может быть решено в явном виде - получена цена опциона [3]. Когда мы рассматриваем другие финансовые деривативы, которые обычно обращаются на реальном рынке, и анализ которых возможен на основе истории их продаж, уравнение Блэка-Шоулса не дает нам возможность получить точное значение цены опционного контракта. В данной работе для анализ динамики сложных систем в условиях неопределенности используется подход Блэка-Шоулза, который является эффективным, в частности, при моделировании ценообразования опционов.
Использование подхода Блэка-Шоулза для анализа динамики сложных систем
Опцион – контракт, дающий его владельцу право (но не обязательство) купить (опцион колл) или продать (опцион пут) актив, называемый базовым, по заранее оговоренной цене 
(цене страйк) к дате 
для получения выгоды.
Основная проблема при постановке таких задач – это определение справедливой цены за предоставление такого права. Тесно связанная с этим проблема – как хеджировать риски, возникающие при продаже опционов. «Европейские» опционы могут быть исполнены исключительно в дату погашения 
. Для «американского» типа опционов погашение возможно в любое время до даты экспирации. Понятия европейских и американских опционов не привязаны к географии, это просто обозначение различных типов.
Необходимо отметить, что большинство опционов, торгуемых на биржах – это опционы американского типа, в то время как для европейских опционов из уравнения Блэка-Шоулза после стандартных преобразований следует краевая задача (которая может быть явно решена для случаев с постоянными коэффициентами и простыми выплатами), для опционов американского типа уравнение Блэка-Шоулза сводится к краевой задаче для уравнения теплопроводности.
В общем случае, решений таких задач в аналитическом виде не существуют (в особенности для американских опционов), а решения могут быть найдены численно. Стандартный подход к решению уравнения Блэка-Шоулза для американских опционов состоит из преобразования изначального уравнения к уравнению теплопроводности представленного на полуограниченной области со свободными краями.
Обычно для решения этой задачи строят конечно-разностный аналог этого уравнения, а искусственное граничное условие вводится для задания области вычислений. Если решение в расчетной области совпадает с точным решением в неограниченной области (ограниченной конечной областью), то можно принять это граничное условие как верное.
Кэнгро и Николайдес в [4] предложили многомерное уравнение Блэка-Шоулза для европейских опционов и получили точные оценки погрешности, вызванной различными граничными условиями. Виндклифф, Форсайт и Ветцал в [5] вывели необходимые условия устойчивости для конечно-разностной дискретизации уравнения Блэка-Шоулза для европейских опционов с общим линейным асимптотическим граничным условием, например, предполагая, что вторая производная стоимости опциона исчезает по мере роста рыночной цены. Хэн и Ву [6] предложили стратегию дискретизации аналитического прозрачного граничного условия для решения уравнения Блэка-Шоулза по американским опционам в связке со схемой Крэнка-Николсона. Авторы также представили простое явное решение со свободной границей.
Было показано, что специальные дискретизации граничного условия могут привести к ухудшению сходимости для конечно-разностного метода Крэнка-Николсона. Для преодоления этих сложностей из полностью дискретной задачи на неограниченной области выводится так называемое дискретное граничное условие. Так как дискретное граничное условие включает свертку по времени со слабо затухающим ядром, его численная оценка становится очень затратной при вычислении на большом временном промежутке.
В рамках данной работы было построено приблизительное дискретное граничное условие с ядром в форме конечной суммы членов экспоненциального уравнения [7], которое может быть оценено с помощью рекурсивной формулы. Далее будет получены аналитические граничные условия для этого уравнения. Для построения конечно-разностного аналога граничных условий будут рассмотрены различные подходы, в частности, Крэнка-Николсона. В конце будет проиллюстрирована точность и эффективность нового метода с по сравнению с известными дискретными граничными условиями Мэйфилда и Хэна и Ву.
Выводы
В данной работе для построения модели сложных систем в условиях неопределенности используется подход Блэка-Шоулза. Проведенный анализ показывает эффективность предложенного подхода.
Литература
1. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. - Journal of Political Economics 72, 1973, pp. 637-654.
2. Merton R. C. Theory of rational option pricing, J. Bell Econom. and Management Sci., 4 (1973), pp. 141–183.
3. Paul W., Baschnagel J. Stochastic Processes: from Physics to Finance, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2000, 231 p.
4. Kangro R., Nicolaides R. Far field boundary conditions for Black–Scholes equations, SIAM J. Numer. Anal., 38 (2000), pp. 1357–1368.
5. Windcliff H., Forsyth P. A., Vetzal K. R. Analysis of the stability of the linear boundary condition for the Black–Scholes equation, p. Finance, 8 (2004), pp. 65–92.
6. Han H., Wu X. A fast numerical method for the Black–Scholes equation of American options, SIAM J. Numer. Anal., 41 (2003), pp. 2081–2095.
7. Arnold A., Ehrhardt M., Sofronov I. Discrete Transparent Boundary Conditions for the Schreodinger Equation: Fast calculation, approximation, and stability, Comm. Math. Sci., № 1 (2003), pp. 501–556.
DYNAMICS ANALYSIS OF COMPLICATED SYSTEMS UNDER uncertainty
Vasilyev S. A., Krylov S. V.
Peoples’ Friendship University of Russia, *****@***pfu. edu. ru
For the dynamics analysis of complicated systems under uncertainty was used Black - Scholes approach.
Кеу words: computer science, economical process simulation, dynamics of complicated systems.
