СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………..3
Основная часть Методы быстрого счета……………………………......5 Экспериментальная часть……………………………..10 Заключение…………………………………………………..14 Источники информации……………………………………15Приложение 1…………………………………………..……..16
Приложение 2……………………………………..…………..17
ВВЕДЕНИЕ
Я хорошо понимаю математику, но иногда допускаю ошибки в вычислениях. Поэтому, в этом году я поставила себе цель – научиться считать быстро и правильно. К сожалению, уделить этому много времени у меня нет возможности, так как у меня много других внешкольных занятий. Поэтому я решила вместе с овладением навыками быстрого счета провести исследование, можно ли научиться быстро считать, не прилагая слишком много усилий и тратя не больше 1 часа в неделю.
Тема:За какое время можно овладеть навыками быстрого счета.
Цель: Узнать, за какое время можно овладеть навыками быстрого счета.
Объект исследования:Методы быстрого счета.
Предмет исследования: Время вычислений.
Задачи исследования:
1. Овладеть методами быстрого счета;
2. Выявить, сколько времени мне понадобится для того, чтобы научиться вычислять с помощью методов быстрого счета;
3. Познакомить одноклассников с методами быстрого счета.
Методы исследования:
1. Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимо информации в сети интернет;
2. Практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
3. Анализ полученных в ходе исследования данных.
Мои действия:
1.Провести опрос одноклассников;
2.Прочитать литературу по данной теме, изучить методы быстрого счета;
3. Провести эксперименты, для определения, в какой мере возросла моя скорость вычислений;
4.Составить памятку для учащихся, для более быстрого изучения приемов быстрого счета.
Актуальность:
Я провела опрос одноклассников и учителей (прил.1.).
Большинство учеников моего класса знают о методах быстрого счета и утверждают, что применяют их в вычислениях. При этомпочти никто не отказался бы от возможности считать быстрее. По мнению учеников методы быстрого счета – это легко и они смогут быстро им научиться.
Все без исключения учителя хотят, чтобы ученики считали быстрее. Они считают, что освоить методы быстрого счета может каждый, но, в отличие от учеников, думают, что это не так уж и просто, следует приложить усилия и потратить достаточно времени. Учителя сошлись во мнении, что то, насколько быстро и легко дадутся ученику методы быстрого счета, зависит от особенностей каждого из них.
А мнения, по поводу тогогде использовать эти методы, сошлись и у учеников, и у учителей: в магазине, на экзаменах, на уроке.
Существует много работ посвященных описанию методов быстрого счета. Но отдельной работы, отвечающей на вопрос за какое время можно овладеть методами быстрого счета, нет. Причем, все ученики хотят увеличить свою скорость вычислений, и учителя считают, что быстрый счет - очень полезный навык. Следовательно, моя работа перспективна и актуальна.
Гипотеза:
Предположим, что изучая по 1 методу быстрого счета в неделю и решая по 5 примеров ежедневно на данную тему, я смогу овладеть данными методами. Т. е. затрачивая не более 1 часа в неделю, смогу овладеть навыками быстрого счета за 3 месяца.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Методы быстрого счета1.1.1.УМНОЖЕНИЕ ДВУХЗНАЧНОГО ЧИСЛА НА 11,111,1111.
Чтобы легко умножить число на 11 нужно приписать к первому множителю (не 11)ноль (умножить на 10) и прибавить то же число. Например:
87 
11=870+87=957.
Также есть другой способ. Нужно между цифрами двухзначного числа вставить их сумму, но если сумма больше 10, то единицу нужно прибавить к старшему разряду (первой цифре). Например:
23
11= 2 (2+3) 3 = 253
57
11= 5 (5+7) 7 = 627, так как 5+7=12, цифру 2 ставим между 5 и 7, а к 5 прибавляем 1, вместо 5 пишем 6.
Чтобы умножить тем же методом число на 111 нужно вставить между цифрами числа два раза их сумму, например:
34 
111= 3 (3+4) (3+4) 4 = 3774, т. к. 3+4=7, поэтому дважды записываем цифру семь между 3 и 4.
Умножение на 1111 аналогично, только сумму нужно вставить уже три раза, например:
63
1111= 6 (6+3) (6+3) (6 + 3) 3 =69993.
Эти методы работают только с двухзначными числами.
1.1.2.УМНОЖЕНИЕ ДВУХЗНАЧНОГО ЧИСЛА НА 101.
Для того чтобы легко умножить число на 101 нужно к числу приписать его же. Например:
34
101=3434, поясним, 34 
101=34 
100+34 
1=3400+34=3434
1.1.3. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ на 22, 33, …, 99.
Чтобы число умножить на 22, 33, 44, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Пример:
123 
55=(123
5)
11=615 
11=6765
42 
22 = 42 
2 
11 = 84 
11 = 8 (8+4) 4 = 924
1.1.4. УМНОЖЕНИЕ НА 4 ИНА 8.
Чтобы устно умножить число на 4 его дважды удваивают. Например:
112
4=112 
2 
2 = 224
2=448
335
4= 335 
2 
2 = 670
2=1340.
Чтобы легко умножить число на 8 его нужно трижды удвоить. Например:
217
8= 217 
434
2 
=868
2=1736,
или другой вариант:
217
8=200
8+17
8=1600+136=1736.
1.1.5. ДЕЛЕНИЕ НА 4 И НА 8.
По аналогии с методом, представленным выше, есть метод деления на 4 и на 8.То есть, чтобы удобно разделить на 4 надо число дважды разделить на 2. Например:
76:4= 76 : 2 : 2 = 38:2=19
236:4= 236 : 2 : 2 = 118:2=59
Также можно делить на 8 просто число делят не дважды пополам, а трижды. Например:
464:8=232:4=116:2=58
516:8=258:4=129:2=64 ?
1.1.6. УМНОЖЕНИЕ НА 5.
Чтобы устно умножить число на 5 его умножают на 10 и делят на 2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:
243 
5=2430:2= 1215
При умножении на 5 четного числа удобнее сначала разделить его на 2, а потом приписать нуль к ответу:
74
5= (74:2) 
10 =370
1.1.7. УМНОЖЕНИЕ НА 9,99,999.
Чтобы легко умножить число на 9, нужно приписать к нему нуль (умножить на 10) и отнять то же самое число. Например:
67 
9=670 – 67=603
Чтобы умножить число на 99 или 999, надо приписать к числу столько нулей, сколько цифр во втором множи, 999,9999) и отнять то же самое число.
1.1.8. УМНОЖЕНИЕ НА ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО.
Чтобы умножить число на однозначный множитель (например, 27 
8)выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а умножают сначала десятки множи
8 = 160), затем единицы(7 
8=56) и оба результата складываются. Еще примеры:
34 
7= 30 
7+ 4 
7=210+28=238
47 
6= 40 
6+ 7 
6=240+42=282
1.1.9. УМНОЖЕНИЕ НА ДВУХЗНАЧНОЕ ЧИСЛО.
Если оба множителя двухзначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы и воспользуемся алгоритмом «умножение на однозначное число» (п. 1.1.8.) Например:
41 
16= 41 
10+ 41 
6=410+240 + 6=656
Разбивать на десятки и единицы удобнее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами, поэтому предложим второй вариант:
41 
16= 16 
41= 16 
40+ 16 
1=640+16=656
1.1.10. УМНОЖЕНИЕ ДВУХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ БЛИЗКИХ К 100.
Первое, что надо сделать – это найти недостатки множителей до сотни. Второе – вычесть из одного множителя недостаток до ста другого. И третье, к результату приписать двумя цифрами произведение недостатков до ста обоих множителей. Пример:
98 
97 = 9506, т. к. 100 – 98 = 2, 100 – 97 = 3,98 – 3 = 95, 2 
3 = 6 (нужно двухзначное число, поэтому 06).
1.1.11. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, У КОТОРЫХ ЧИСЛО ДЕСЯТКОВ ОДИНАКОВО, А СУММА ЕДИНИЦ РАВНА 10.
Цифру десятков надо умножить на следующую в натуральном ряду цифру, к результату прибавить произведение единиц. Например:
52 
58= 3016, т. к. 5 
6= 30, приписываем 2 
8=16
Если произведение единиц не двухзначное число, то перед ним надо написать нуль.
1.1.12. МЕТОД РЕШЕТКИ.
Допустим нам надо умножить 913 на 57. Начертим прямоугольник 3 на 2(по количеству цифр в числе). Затем клеточки делим по диагонали. Вверху таблицы по горизонтали записываем 913, а слева по вертикали 57. Теперь на пересечении цифр записываем произведение чисел десятки на диагонали, а единицы под ней. После заполнения складываем числа в диагоналях, если прибавляется десяток, то его относят к следующему разряду (рис.1).
Рис.1
1.1.13. КИТАЙСКИЙ МЕТОД УМНОЖЕНИЯ.
Пример 1:21 
13 = ?
Алгоритм:
Чертим линии соответствующие первому числу (2-е линии - десятки; 1 – единицы) Аналогично второму числу. Затем считаем пересечение линий. Результат записываем против часовой стрелки. (рис.2)
21 
13 = 2 73
Рис.2
Пример 2:
123 
321 = ? (рис.3)
123
321 = 3 9 4 8 3
Рис.3
В различной литературе я прочитала, что методов ускоряющих счет очень много. В своей работе я использовала только 13 методов (по количеству недель моего эксперимента), которые считаю наиболее интересными и эффективными. Некоторые из них очень легки для запоминания и применения (умножение на 11, 111, 101…). Некоторые требуют приложения определенных усилий для того, чтобы научиться ими правильно пользоваться. А некоторые(метод «решетки» и китайский «узелковый» метод) мне показались очень интересными, поэтому я их использовала, но на практике они не повышают скорость вычислений, а скорее могут служить для проверки результатов вычислений.
Экспериментальная часть.
ОПЫТ 1. Определение высокой скорости вычислений.
Чтобы определить, какую скорость вычислений можно считать высокой, я провела следующий опыт. Ученикам 5-х и 9-х классов было предложено решить как можно больше примеров за 10 минут. Примеры были подобраны таким образом, чтобы их можно было решить как обычным способом (в столбик), так и с помощью методов быстрого счета.
Диаграмма 1. Количество правильно решенных примеров учениками 5 и 9 классов.
Результаты эксперимента приведены на диаграммах (диаграмма 1 и диаграмма 2). Из диаграммы видно, что в целом 9-классники решают быстрее 5-классников. Т. е. скорость вычислений увеличивается с возрастом и приходит с опытом.
Анализ работ также показал, что школьники хоть и слышали о методах быстрого счета, и даже знакомы со многими из них, но на практике применяют только 2-3 самых простых для запоминания (умножение на 11, 111, 101).
Чтобы определить, какую скорость вычислений можно считать высокой я разделила все работы на 3 равные группы: «лучшие результаты», «средние результаты» и «остальные». Таким образом,
для учащихся 5 классов:
O«лучшие результаты» - 28-45 правильно решенных примеров;
O«средние результаты» - 17-27 правильно решенных примеров;
?«остальные результаты» - 7-16 правильно решенных примеров;
для учащихся 9 классов:
O«лучшие результаты» - 35-49 правильно решенных примеров;
O«средние результаты» - 26-33 правильно решенных примеров;
?«остальные результаты» - 13-25 правильно решенных примеров.
Диаграмма 2. Среднее количество правильно решенных примеров учениками 5 и 9 классов с разделением на группы.
По результатам этого опыта я подготовила «тестовый лист» для желающих проверить свою скорость вычислений (приложение 2).
ОПЫТ 2. Изменение скорости моих вычислений.
Перед началом исследования я измерила скорость моих вычислений (количество правильно решенных примеров за 10 минут). В дальнейшем, я изучила некоторые способы быстрого счета (п.1.1.) и ежедневно практиковалась в их применении (примерно по 5 примеров в день). Примеры подбирались аналогичные тем, что вошли в «тестовый лист» из опыта 1. Примерно раз в месяц я измеряла скорость моих вычислений. Изменения скорости моих вычислений представлены на графике (график 1):
График 1. Изменение скорости моих вычислений за 3 месяца
Первоначально моя скорость вычислений с помощью традиционных методов счета (28 примеров) соответствовала нижней границе «лучших результатов» для 5 классов. А скорость вычислений с использованием методов быстрого счета оказалась ниже (21 пример) и соответствовала «хорошим результатам» для 5 классов. Т. е. просто прочитать и понять методы оказалось недостаточно, чтобы скорость возросла. Отсутствие навыка применения новых алгоритмов счета привело к снижению результата.
Ежедневно решая по несколько примеров с использованием новых алгоритмов, результаты скорости моих вычислений увеличивались, причем как с помощью обычных методов, так и с помощью новых методов.
Примерно через месяц результаты вычислений обычными и быстрыми методами сравнялись (35 примеров) и соответствовали нижней границе «лучших результатов» для 9 классов.
В дальнейшем рост скорости моих вычислений с помощью методов быстрого счета также увеличивался быстрее, чем скорость вычислений обычными методами. Через 3 месяца с помощью быстрых методов скорость составила 54 примера, это больше, чем лучший результат для 9 классов. Скорость обычными методами 46 примеров, это соответствует лучшему результату для 5 классов.
Таким образом, за 3 месяца эксперимента мне удалось увеличить собственную скорость вычислений почти в 2 раза.
ОПЫТ 3. Измерение времени вычислений произвольных примеров.
В предыдущих опытах для измерения скорости вычислений я использовала простые примеры, которые подходят для вычислений изученными мной методами быстрого счета. В данном опыте я решила выяснить, помогают ли эти методы при вычислении произвольных примеров. Я взяла 5 «случайных» больших примера из учебника математики 5 класса и измерила время, за которое я их могу решить: 1) с помощью традиционных методов и алгоритмов 2) с применением всех полученных мной знаний. Примеры:
240 : 8 – 300 : 20 + 576 : 32 ((160240 : 8 + 7997000 : 100) : 1000
7 + 947) 
100 128 
430 + 675 – 34125 : 375 + 6795 (64 
125 + 128 
75) : 800 
5000 – (300 
400 + 5107 
800) : 70 19900 : (54726 – 53930) + (12592 – 9307) 
50 Результаты опыта:
Решено традиционными способами за 18мин. 54сек. Решено с использованием всех полученных знаний за 10мин. 29 сек.Таким образом, я убедилась, что методы быстрого счета действительно увеличивают скорость вычислений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проделанной работы моя гипотеза подтвердилась. Затрачивая не больше 1 часа в неделю, т. е. решая всего по 5 примеров в день, вполне возможно овладеть основными методами быстрого счета и значительно повысить свою скорость вычислений за 3 месяца.
Освоить владение данными методами не сложно, но необходима регулярная тренировка в их применении. Только прочитать и разобрать методы недостаточно.
Для всех, кто хочет проверить и улучшить свои результаты в вычислениях я подготовила памятку по тем методам быстрого счета, которые считаю наиболее легкими и эффективными.
Я узнала много способов быстрого счета. Не все из них вошли в мою работу. Поэтому в дальнейшем я планирую продолжить работу над данной темой.
Список использованной литературы
«Быстрый счет», Ленинград, 1941 «Быстрый счет: задачи и решения» - М., 2008Приложение 1
Ответьте на вопросы.
Знакомы ли Вы с методами быстрого счета, применяете ли их при вычислениях? да нетХотели бы Вы считать быстрее, чем сейчас?
да нет
Как Вы считаете, для чего нужен быстрый счет, где он может понадобиться?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Как Вы считаете, сложно ли овладеть навыками быстрого счета?сложно легко
5. Как Вы считаете, много ли потребуется времени лично Вам, чтобы научиться считать значительно быстрее, чем сейчас?
Очень много (малореально для меня)
Довольно много (будет нелегко, но смогу осилить)
Легко и быстро смогу научиться
Другое ___________________________________________
Несколько вопросов для учителей.
Хотели бы Вы, чтобы ученики считали быстрее, чем сейчас?да нет
Если п.1 – да, то, как Вы считаете, для чего нужен быстрый счет, где он может понадобиться?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Как Вы считаете, сложно ли овладеть навыками быстрого счета?сложно легко
4. Как Вы считаете, много ли потребуется времени обычному ученику, чтобы научиться считать значительно быстрее, чем он может сейчас?
Очень много (малореально)
Довольно много (будет нелегко, но сможет осилить)
Легко и быстро сможет научиться практически каждый
Другое __________________________________________
Приложение 2
Реши максимальное количество примеров за 10 минут:
24 х 4 = | 63 х 101= | 45 х 34 = |
82 х 8 = | 5 х 37 = | 89 х 9 = |
76 : 4 = | 34 х 22= | 101 х 11 = |
344 : 8 = | 48 х 11= | 23 х 101= |
124 х 5 = | 33 х 5= | 13 х 16 = |
71 х 111 = | 1111 х 1111 = | 35 х 5 = |
98 х 101 = | 65 х 8 = | 45 х 1111= |
74 х 12 = | 78 х 5 = | 53 х 5 = |
46 х 66 = | 31 х 4 = | 96 х 101 = |
58 х 7 = | 24 х 9 = | 68 : 4 = |
542 х 24 = | 84 х101 = | 256 : 8 = |
54 x 11 = | 56 х 78 = | 42 х 4 = |
63 x 4 = | 46 х 24 = | 36 х 5 = |
31 x 8 = | 78 х 999 = | 67 х 11 = |
111 x 111 = | 66 х 48 = | 71 х 33 = |
76 х 5= | 81 х 19 = | 35 х9 = |
1111 х 23= | 44 х 64 = | 208 : 4 = |
43 х 4 = | 42 х 11 = | 84 х 5 = |
348 х 11= | 33 х 45 = | 37 х 16 = |
12 х 9 = | 34 х 101= | 69 х 101 = |
730 х 30= | 43 х 8 = | 26 х 99 = |
128 : 8 = | 19 х 4 = | 41 х 5 = |
Подсчитай количество правильно решенных примеров. Проверь свой результат (для учащихся 5 классов):
O свыше 54 правильно решенных примеров – «ты лучший»;
O 28-54 правильно решенных примеров – «ты молодец»;
O 17-27 правильно решенных примеров - «будь внимательнее»;
?меньше 16 правильно решенных примеров – «повтори таблицу умножения».
