Определения

Определения

Определение 1. Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от данной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности).
Определение 2. Кругом называется геометрическое место точек удаленных от данной точки (центра круга) неболее чем на заданное расстояние (радиус круга).
Здесь:
точка О - центр
А - точка на окружности
ОА = r - радиус
Определение 3. Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой.
Определение 4. Секущая - это прямая, имеющая с окружностью две общие точки. Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется хордой
Определение 5. Хордой называется отрезок соединяющий две произвольные (несовпадающие) точки окружности.
Определение 6. Части, на которые хорда разбивает круг (I и II на рис1), называются сегментами. В случае, когда хорда совпадает с диаметром, эти сегменты превращаются в полукруги.
Определение 7. Диаметром называют хорду, проходящую через центр окружности.
Определение 8.Сектором круга называют часть круга, ограниченная двумя его радиусами и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов (на рис2 показаны секторы I и II)

на рисунке мы видим АВ - хорда, CD - диаметр.
Теорема 1. Перпендикуляр, опущенный на хорду из центра окружности, делит эту хорду пополам.

Углы

Определение 9. Угол называется вписанным в окружность, если его вершина принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность Определение 10. Дугой называют часть окружности. Определение 11. Центральным называется такой угол, вершина которого есть центр окружности. Этот угол также характеризуется дугой, на которую он операется. Теорема 2 Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла. Надо отметить случай, когда угол опирается на диаметр или дугу длиной в пол окружности, он будет равен 90° (180°/2). Теорема 2.1. Если вписанный в окружность угол прямой (равен 90 градусов), то он опирается на диаметр. И обратно Теорема 2.2. Если вписанный в окружность угол опирается на диаметр, то он прямой (равен 90 градусов). Из теоремы 2 следует, что вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, т. к. равны половине одного и того же центрального угла. ?ADB=?АСВ=1/2?АОВ Теорема 3 Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Теорема 4. Величина угла с вершиной внутри круга равна полусумме угловых величин дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями. Теорема 5. Величина угла, образованного двумя секущими с вершиной вне круга, стороны которого пересекают этот круг, равна полуразности угловых величин большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами. Теорема 6. При пересечении хорды делятся на отрезки, произведения которых равны.

Касательная

Определение 12. Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Теорема 7 Радиус, проведенный в точку касания окружности, перпендикулярен касательной. Теорема 7.1 Если радиус перпендикулярен прямой в точке пересечения ею окружности, то эта прямая - касательная к этой окружности. Теорема 8 Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, а прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, делит угол между касательными попалам. Теорема 9 Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами. Теорема 10 Если из точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью. Свойства хорд Определение 19. Хорда, имеющая те же концевые точки, что и дуга, называется хордой, стягивающей эту дугу. Свойства хорд: Свойство 1. Равные дуги стягиваются равными хордами. Свойство 2. Равные хорды стягивают пары соответственно равных дуг. Свойство 3. Хорды, равноотстоящие от центра, равны. Свойство 4. Равные хорды равноотстоят от центра. Свойство 5. Всякий диаметр является осью симметрии круга (окружности). Свойство 5.1. Диаметр делит круг (окружность) на два равных полукруга (полуокружности).

Определение 1. Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником.

Теорема 1. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Фигура	Рисунок	Свойство
Окружность, описанная около параллелограмма		Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба		Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции		Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Теорема. Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

a+c = b+d.