Теория игр

ТЕОРИЯ ИГР

Задача 1

       С учетом вариантов сложившегося на рынке поведения покупателей в микрорайоне города  коммерческое предприятие разработало несколько технологий  продажи товаров. Возможные варианты среднедневного товарооборота (в млн. руб.) в зависимости от различных сочетаний  и приведены в матрицах:

Матрица 1

Игроки	В1	В2	В3	В4
А1	12 + t	20 + v	15 + u	12 + t
А2	12 + t	15 + u	7 + v	3 + u
А3	3 + u	3 + u	12 + t	15 + u
А4	s	20 + v	7 + v	7 + v

Матрица 2

Игроки	В1	В2	В3	В4
А1	4 + v	8 + t	s	11 + u
А2	s	4 + v	16 + v	11 + u
А3	4 + v	8 + t	11 + u	s
А4	11 + u	4 + v	4 + v	4 + v

Матрица 3

Игроки	В1	В2	В3	В4	B5
А1	u + 2	v + 6	u + 2	t + 10	v + 17
А2	t – 2	v + 17	t – 2	u + 14	v + 6
А3	s – 6	v + 6	t – 2	u + 2	v + 6
А4	u + 2	v + 6	u + 2	t + 10	t + 10

Значения параметров, входящих в матрицы:

№ варианта	s	t	u	v
9	3	3	2	1

Требуется:

Определить верхние и нижние значения товарооборота коммерческого предприятия. Найти седловую точку игры, если она есть. Используя оптимальные чистые стратегии и чистую цену игры, сделайте выводы экономического характера.

Задача 2

Найти оптимальную смешанную стратегию руководителя коммерческого предприятия (игрок А) и гарантированный средний выигрыш при выборе из двух новых технологий продажи товаров и , если известны выигрыши каждого вида продажи по сравнению со старой технологией (игрок В), которые представлены в виде матрицы:

Игрок А	Игрок В
B1	B2
A1	a11	a12
A2	a21	a22

Элементы матрицы заданы в таблице 1.

Таблица 1

№ варианта	а11	а12	а21	а22
9	10	5	6	8

Задача 3

Найти решения матричных игр графоаналитическим методом.

А) Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать две культуры. Прибыль предприятия от реализации выращенной культуры зависит от объема полученного урожая. Урожай первой культуры выше при сухой погоде, а второй выше при более влажной. Состояние погоды в летний период можно рассматривать как следующие стратегии природы (игрок В):

1) – лето жаркое сухое;

2) – лето жаркое влажное;

3) – лето теплое влажное;

4) – лето теплое сухое;

5) – лето прохладное.

Стратегии предприятия (игрок А):

– выращивать первую культуру; – выращивать вторую культуру.

Расчеты прибыли предприятия (в млн руб.) в зависимости от состояния погоды приведены в матрицах, соответствующих каждому варианту (таблица 2):

Таблица 2

Варианты	Стратегии игрока А	Стратегии игрока В
В1	В2	В3	В4	В5
9	А1	4	8	8	6	3
А2	6	5	2	3	5

Требуется определить оптимальные стратегии поведения сельскохозяйственного предприятия и его гарантированный выигрыш.

В) Сельскохозяйственное предприятие (игрок А) должно выращивать определенную культуру, например картофель, на отведенном для этой цели участке. Урожайность картофеля зависит от количества внесенных удобрений и от состояния погоды. Рассматриваются два возможных характера погоды (игрок В):

1) – лето сухое;

2) – лето влажное.

Возможные варианты внесения удобрений:

1) – количество удобрений на 1 га соответствует определенной норме (норму принять равной 1);

2) – количество удобрений на 30 % выше нормы;

3) – количество удобрений на 40 %  ниже нормы;

4) – количество удобрений на 5 % ниже нормы.

Предприятие произвело расчет прибыли в зависимости от возможных стратегий своих и природы. Матрицы прибылей для различных вариантов задачи представлены в таблице:

Игрок А	Номер варианта
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Игрок В
В1	В2	В1	В2	В1	В2	В1	В2	В1	В2	В1	В2	В1	В2	В1	В2	В1	В2	В1	В2
А1	3	5	1	4	5	2	1	3	8	3	2	5	0	2	6	1	9	3	0	2
А2	2	6	3	6	8	4	3	5	6	2	4	7	3	6	4	0	7	5	3	6
А3	4	1	5	2	3	5	2	6	3	5	6	3	4	1	1	3	2	6	5	2
А4	5	3	4	3	1	3	8	4	2	6	5	2	5	2	2	5	3	8	7	3

Требуется определить оптимальное количество внесения удобрений и гарантированную прибыль предприятия при любой погоде.

Задача 4

Директор транспортной компании А, оказывающей транспортные услуги по перевозке пассажиров в областном центре, планирует открыть один или несколько маршрутов: А1, А2, … . Для этого было закуплено 100 микроавтобусов. Он может поставить весь транспорт на одном из маршрутов (наиболее выгодном), либо распределить по нескольким маршрутам. Спрос на транспорт, а соответственно и прибыль компании во многом зависит. от того, какие маршруты в ближайшее время откроет главный конкурент –компания В. Ее руководство полностью владеет ситуацией и может открыть несколько маршрутов В1, В2, … . Оценки прибыли компании А (млн. руб.) при любом ответе В представлены платежной матрицей:

Вариант 9

В1	В2	В3	В4	В5
A1	213	271	280	373	424
A2	515	321	335	282	520
A3	338	284	750	229	710
A4	560	285	730	694	500
A5	679	311	732	647	290
A6	748	465	594	403	576
A7	384	486	383	436	286
A8	296	737	300	635	650
А9	552	636	636	540	639
A10	561	288	792	636	299
А11	608	810	708	670	712
А12	496	445	567	504	510

Требуется:

Найти нижнюю и верхнюю оценки прибыли компании. С помощью сведения игры к задаче линейного программирования определить оптимальную смешанную стратегию компании. Какой маршрут окажется наиболее предпочтительным? Вычислить оптимальную прибыль (убыток) компании при использовании оптимальной смешанной стратегии

Требования. Решение заданий контрольной работы следует сопровождать необходимыми комментариями, т. е. все основные этапы решения задачи должны быть раскрыты и обоснованы на основе соответствующих теоретических положений. При решении задач целесообразно использование компьютерных программ.